Contrainte plane

La contrainte plane est une simplification en élasticité utilisée pour modéliser des corps où

1. une dimension (l'épaisseur) est beaucoup plus petite que les deux autres, comme dans les plaques ou coques minces
2. les forces agissent uniquement dans ce plan.

Soit le plan de la structure le plan $xy$, et la direction de l'épaisseur l'axe $z$.

1. Hypothèses principales

La formulation de la contrainte plane comprend les hypothèses fondamentales suivantes concernant l'état de contrainte :

1. Les forces de traction sur les surfaces (à $z=\pm h/2$) sont nulles.
2. Parce que la plaque est mince, on suppose qu'il n'y a pas d'espace pour développer des contraintes internes significatives dans la direction $z$, ni de contraintes de cisaillement associées à la face $z$.

Mathématiquement, cela impose : $${\sigma }_{zz}=0,{\sigma }_{xz}=0,{\sigma }_{yz}=0$$ Par conséquent, les composantes de contrainte non nulles (${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$) sont supposées être des fonctions de $x$ et $y$ uniquement, et sont uniformes dans l'épaisseur.

2. L'incohérence mathématique

Bien que la simplification de la contrainte plane soit très utile et précise pour les composants techniques minces, elle présente une incohérence théorique lorsqu'elle est analysée rigoureusement avec la théorie tridimensionnelle complète de l'élasticité. Cette incohérence provient de la relation entre contrainte, déformation et compatibilité des déplacements.

L'effet Poisson et la déformation hors plan

Même si la contrainte hors plan ${\sigma }_{zz}$ est supposée nulle, la déformation hors plan ${ϵ}_{zz}$ n'est pas nulle en raison de l'effet Poisson. En utilisant la loi de Hooke généralisée :

$${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]$$

Puisque ${\sigma }_{zz}=0$, cela se réduit à : $${ϵ}_{zz}=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$

Comme ${\sigma }_{xx}$ et ${\sigma }_{yy}$ varient avec $x$ et $y$, ${ϵ}_{zz}$ varie également dans le plan de la plaque. Cela signifie que l'épaisseur de la plaque change de manière non uniforme.

Le conflit avec la compatibilité

À partir des relations déformation-déplacement, ${ϵ}_{zz}={\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}}$ (où $w$ est le déplacement dans la direction $z$). En intégrant ${ϵ}_{zz}$ par rapport à $z$ (en supposant une symétrie par rapport au plan médian $z=0$), on obtient : $$w=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})z$$ Puisque $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ est une fonction de $x$ et $y$, alors $w$ est une fonction de $x,y,$ et $z$. Par conséquent, les dérivées ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ et ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ sont généralement non nulles.

Considérons maintenant les déformations de cisaillement transversal, qui doivent être nulles d'après l'hypothèse de contrainte (${\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$) : $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

Si ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ et ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ sont non nulles, alors pour que ces déformations de cisaillement restent nulles, les déplacements dans le plan $u$ et $v$ doivent dépendre de $z$.

Conclusion sur l'incohérence

L'hypothèse selon laquelle les contraintes dans le plan sont indépendantes de $z$ contredit l'exigence de compatibilité des déformations. Un état de contrainte avec ${\sigma }_{zz}={\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$ partout n'est généralement pas possible, sauf si $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ est constante ou linéaire en $x$ et $y$. Par conséquent, la contrainte plane est considérée comme une solution approximative. En réalité, les contraintes supposées sont traitées comme des valeurs moyennes sur l'épaisseur de la plaque.

3. Équations et inconnues

Malgré l'incohérence théorique concernant la direction $z$, le problème de contrainte plane bidimensionnel est mathématiquement déterminé. Nous nous concentrons uniquement sur les variables du plan $xy$.

Les inconnues (Total : 8)

Pour résoudre complètement le problème de champ bidimensionnel, nous devons déterminer 8 variables de champ (toutes fonctions de $x$ et $y$) :

• Déplacements (2) : $u(x,y),v(x,y)$
• Déformations (3) : ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$
• Contraintes (3) : ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$

Les équations gouvernantes (Total : 8)

Pour résoudre ces 8 inconnues, nous utilisons 8 équations fondamentales de l'élasticité (en négligeant les forces volumiques pour plus de simplicité) :

1. Équations d'équilibre (2) : Dérivées de la deuxième loi de Newton (statique). $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. Équations cinématiques (déformation-déplacement) (3) : Basées sur la géométrie de la déformation. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. Équations constitutives (Loi de Hooke pour la contrainte plane) (3) : Reliant la contrainte à la déformation. Notez la modification de $E$ due à la condition ${\sigma }_{zz}=0$. $${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}({\sigma }_{xx}-\nu {\sigma }_{yy})$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}({\sigma }_{yy}-\nu {\sigma }_{xx})$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\sigma }_{xy}(\text{où }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

Puisqu'il y a 8 inconnues et 8 équations indépendantes, le système est fermé et résoluble, à condition que des conditions aux limites appropriées soient appliquées.