Bending of a Beam by Uniform Transverse Loading

Considérons une poutre simplement appuyée de longueur $L$, de hauteur $h$ et de largeur $b$. La poutre est soumise à un chargement transversal uniforme d'intensité (force par unité de longueur) $w$. L'intensité de la force (force par unité de surface) est $q={\displaystyle \frac{w}{b}}$.

Plaçons l'origine du système de coordonnées au centre de la poutre. L'axe des x suit l'axe neutre sur la longueur de la poutre, et l'axe des y est vertical. Les surfaces supérieure et inférieure sont situées à $y=\pm h/2$.

Les conditions aux limites sur les bords supérieur et inférieur de la poutre sont : Les conditions aux extrémités $x=\pm L/2$ précisent les forces résultantes. L'effort tranchant total doit être égal à la réaction d'appui ($V=\pm wL/2$) : Il n'y a pas d'effort normal net aux extrémités : Et, parce que la poutre est simplement appuyée, il n'y a pas de moment de flexion aux extrémités :

À partir de la théorie élémentaire de la résistance des matériaux, nous savons que ${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}$. Puisque le moment de flexion $M(x)$ pour ce chargement est quadratique en $x$, nous nous attendons à ce que ${\sigma }_x$ contienne un terme proportionnel à $x^{2}y$. Puisque ${\sigma }_x={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}}$, cela suggère que $\varphi$ devrait contenir un terme de la forme : $$c_1{x}^2{y}^3$$ Ce terme seul donnerait les composantes de contrainte $${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=2c_1{y}^3\text{et}{\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=-6c_{1}x{y}^2.$$ Ces expressions ne satisfont pas les conditions aux limites (i) à elles seules.

Pour satisfaire les conditions ${\sigma }_y{|}_{y=-h/2}=0$ et ${\sigma }_y{|}_{y=h/2}=-q$, nous devons ajouter à ${\sigma }_y$ des termes de la forme $\alpha y+b$. Cela nécessite que $\varphi$ contienne des termes de la forme $$c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2.$$

Essayons une fonction de contrainte de la forme : $$\varphi =c_1{x}^2{y}^3+c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2$$ En imposant les conditions aux limites (i) pour ${\sigma }_y$ et ${\tau }_{xy}$ (ce qui nécessite également des termes provenant de cette forme de $\varphi$), on obtient : $$c_1=\frac{q}{h^3},c_2=-\frac{3q}{4h},c_3=-\frac{q}{4}$$ et donc $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2$$ Cependant, cette fonction ne satisfait pas l'équation biharmonique ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$. En effet : $${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^4}\left(\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3\right)=\frac{24q}{h^3}y$$ Pour rendre la fonction de contrainte biharmonique, nous devons ajouter un terme qui annule ce résultat. Un terme de la forme $c_4{y}^5$ convient. En substituant $\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2+c_4{y}^5$ dans l'équation biharmonique, on obtient : $$\frac{24q}{h^3}y+\frac{{\partial }^4}{\partial y^4}(c_4{y}^5)=\frac{24q}{h^3}y+120c_{4}y=0$$ Par conséquent, nous devons avoir : $$c_4=-\frac{24q}{120h^3}=-\frac{q}{5h^3}$$ La fonction de contrainte d'Airy améliorée est : $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5$$ Cette fonction de contrainte donne les composantes de contrainte suivantes : Ces composantes de contrainte satisfont les conditions (i), (ii) et (iii). Cependant, la condition (iv) (moment nul aux extrémités) est violée. Le moment en $x=\pm L/2$ est : Pour annuler ce moment parasite, nous devons ajouter à $\varphi$ un terme correctif qui produit un moment égal et opposé. Un terme de la forme $c_5{y}^3$ représente un état de flexion pure. L'ajout de ${\varphi }_{corr}=c_5{y}^3$ donne ${\sigma }_{x,corr}=6c_{5}y$. Le moment produit est $M_{corr}={\int }_{-h/2}^{h/2}by(6c_{5}y)dy=\frac{b{c}_5{h}^3}{2}$. En posant $M+M_{corr}=0$, on obtient : $$c_5=-\frac{2}{b{h}^3}\left[bq(\frac{L^2}{8}-\frac{h^2}{20})\right]=\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})$$ Finalement, notre fonction de contrainte d'Airy complète est : $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5+\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})y^3$$ Notons que le terme $y^3$ ajouté satisfait automatiquement l'équation biharmonique et ne contribue ni à ${\sigma }_y$ ni à ${\tau }_{xy}$, de sorte que les conditions (i), (ii) et (iii) restent satisfaites.

Les composantes de contrainte finales sont : En remplaçant $q$ par $w/b$ et en notant que le moment d'inertie est $I=\frac{1}{12}b{h}^3$, l'expression de ${\sigma }_x$ peut être réécrite. Le moment de flexion de la théorie élémentaire est $$M(x)=\frac{w}{2}(\frac{L^2}{4}-x^2).$$ Et $${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}+\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y).$$ Le premier terme est exactement le résultat de la théorie élémentaire des poutres d'Euler-Bernoulli. Le second terme est la correction fournie par la théorie de l'élasticité. Ce terme correctif ne dépend pas de $x$ et est petit si la poutre est élancée (c'est-à-dire si sa hauteur $h$ est petite par rapport à sa portée $L$).

La solution est exacte si, aux extrémités $x=\pm L/2$, les forces normales ${\sigma }_x$ sont distribuées selon la loi donnée par le terme correctif : $${\sigma }_x{|}_{x=\pm L/2}=\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y)$$ Ces forces n'ont ni force nette équivalente ni moment net équivalent. Par conséquent, selon le principe de Saint-Venant, la distribution réelle de ${\sigma }_x$ sera très proche de cette solution à des distances des extrémités supérieures à la hauteur de la poutre, quelle que soit la réalisation effective des appuis.

La différence entre les résultats de la résistance des matériaux et de l'élasticité vient du fait que la théorie élémentaire suppose que les fibres longitudinales sont en traction ou compression pure (${\sigma }_y=0$). Cependant, la solution élastique montre qu'il existe des contraintes de compression entre les fibres.

La formule pour ${\tau }_{xy}$ coïncide avec celle obtenue à partir de la formule de résistance des matériaux ${\tau }_{xy}=\frac{VQ}{Ib}$.