Transformation des déformations

Rappelons que \[ \boldsymbol{\epsilon}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{u}\nabla+(\mathbf{u}\nabla)^T\right). \] ou \[ \boldsymbol{\epsilon}=\frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{bmatrix}\right) \]

Pour exprimer les composantes de la déformation dans un nouveau système de coordonnées, nous devons exprimer à la fois le déplacement \(\mathbf{u}\) et \(\nabla\) dans le nouveau système de coordonnées. C'est-à-dire, \[ \epsilon_{i'j'}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i'}}{\partial x_{j'}}+\frac{\partial u_{j'}}{\partial x_{i'}}\right). \]

Par conséquent, pour exprimer \(\epsilon_{i'j'}\) en fonction des composantes de la déformation dans l'ancien système de coordonnées, nous devons :

exprimer les composantes du déplacement dans le nouveau système de coordonnées en fonction des composantes du déplacement dans l'ancien système de coordonnées
exprimer la différentiation par rapport à un nouvel axe de coordonnées en termes de différentiation par rapport aux anciennes coordonnées.

Transformation du déplacement

Le déplacement est une grandeur vectorielle. Par conséquent, ses composantes dans un nouveau système de coordonnées \(u_{1'}, u_{2'}, u_{3'}\) suivent la transformation des vecteurs : \[ u_{i'}=\sum_{k=1}^3 u_k l_{ki'} \tag{1} \] ou \[ \mathbf{u}'=\mathbf{u} L \tag{2} \] \[ \begin{bmatrix} u_{1'} & u_{2'} & u_{3'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} l_{11'} & l_{12'} & l_{13'}\\ l_{21'} &l_{22'} & l_{23'}\\ l_{31'} & l_{32'} & l_{33'} \end{bmatrix} \]

où \(l_{ki'}=\hat{\mathbf{e}}_k\cdot \hat{\mathbf{e}}_{i'}\) est la k-ième composante du i-ième vecteur unitaire du nouveau système de coordonnées :

\[ \begin{bmatrix} l_{11'} & l_{12'} & l_{13'}\\ l_{21'} &l_{22'} & l_{23'}\\ l_{31'} & l_{32'} & l_{33'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} | & | & |\\ \hat{\mathbf{e}}_1^\prime & \hat{\mathbf{e}}_2^\prime & \hat{\mathbf{e}}_3^\prime\\ | & | & | \end{bmatrix} \tag{3} \]

Transformation des dérivées

Il découle de la règle de dérivation en chaîne que \[ \frac{\partial}{\partial x_{1'}}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)\frac{\partial x_1}{\partial x_{1'}}+\left(\frac{\partial}{\partial x_{2}}\right)\frac{\partial x_2}{\partial x_{1'}}+\left(\frac{\partial}{\partial x_{3}}\right) \frac{\partial x_3}{\partial x_{1'}}. \tag{4} \]

Le taux de variation d'une ancienne coordonnée par rapport à une nouvelle coordonnée est le cosinus de l'angle entre elles : \[ \frac{\partial x_1}{\partial x_{1'}}=l_{11'},\quad \frac{\partial x_2}{\partial x_{1'}}=l_{21'},\quad \frac{\partial x_3}{\partial x_{1'}}=l_{31'}. \tag{5} \]

Par conséquent, \[ \frac{\partial}{\partial x_{1'}}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)l_{11'}+\left(\frac{\partial}{\partial x_{2}}\right)l_{21'}+\left(\frac{\partial}{\partial x_{3}}\right) l_{31'}. \tag{6} \]

Nous pouvons écrire (6) sous la forme \[ \left[\frac{\partial}{\partial x_{1'}}\right]=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_{11'}\\ l_{21'}\\ l_{31'} \end{bmatrix} \]

et pour toutes les nouvelles coordonnées : \[ \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_{1'}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{2'}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{3'}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_{11'} & l_{12'} & l_{13'}\\ l_{21'} &l_{22'} & l_{23'}\\ l_{31'} & l_{32'} & l_{33'} \end{bmatrix}\tag{7} \]

Gradient dans les nouvelles coordonnées

En combinant (1) et (6), nous obtenons \[ \begin{aligned} \frac{\partial u_{i'}}{\partial x_{j'}}&=\frac{\partial}{\partial x_{j'}}\overbrace{\sum_{k=1}^3 u_k l_{ki'}}^{u_{i'}}\\ &=\sum_{p=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_p}l_{pj'}\sum_{k=1}^3 u_k l_{ki'}\\ &=\sum_{p=1}^3 \sum_{k=1}^3 l_{pj'} \frac{\partial u_k}{\partial x_p} l_{ki'} \end{aligned}\tag{8} \] Alternativement, en utilisant la notation matricielle et (2) et (7), nous pouvons écrire \[ \begin{aligned} \mathbf{u}'\nabla' &=\begin{bmatrix} u_{1'}\\ u_{2'}\\ u_{3'} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_{1'}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{2'}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{3'}} \end{bmatrix}\\ &=L^T \begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} \end{bmatrix} L\\ &=L^T (\mathbf{u}\nabla) L \end{aligned}\tag{9} \]

Loi de transformation pour le tenseur des déformations

Puisque \[ \boldsymbol{\epsilon}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{u}\nabla+(\mathbf{u}\nabla)^T\right), \] nous concluons que \[ \bbox[5px,border:1px #f2f2f2;background-color:#f2f2f2]{\boldsymbol{\epsilon}^\prime=L^T \boldsymbol{\epsilon}\, L}\tag{10} \] C'est la même formule de transformation que pour la contrainte : \[ \boldsymbol{\sigma}^\prime = L^T \boldsymbol{\sigma} L \]

Cas particulier : Transformation 2D

En 2D, \[ L=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \]

Par conséquent, \[ \begin{bmatrix} \epsilon_{x'} & \epsilon_{x'y'}\\ \epsilon_{y'x'} & \epsilon_{y'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \epsilon_{x} & \epsilon_{xy}\\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{y} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\tag{11} \]

\[ \bbox[5px,border:1px #f2f2f2;background-color:#f2f2f2]{\begin{aligned} \epsilon_{x^\prime}&=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}+\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2} \cos 2 \theta+\epsilon_{x y} \sin 2 \theta,\\ \epsilon_{y^\prime} & =\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}-\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2} \cos 2 \theta-\epsilon_{xy} \sin 2 \theta \\ \epsilon_{x' y^\prime} & =-\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2} \sin 2 \theta+\epsilon_{xy} \cos 2 \theta \end{aligned}}\tag{12} \]

Cela montre que pour transformer les composantes de la déformation dans un problème 2D, nous pouvons utiliser le cercle de Mohr, exactement comme pour la contrainte.

Example 1.

Exemple : Le champ de déplacement d'un corps sous contrainte est spécifié par
\[ u = 10^{-3}(x+y)^2\text{ m}, \quad v = 10^{-3}(y-z)^2 \text{ m}, \quad w = -10^{-3}xz\text{ m} \]

Trouver le tenseur des déformations au point \(P(0,1,-2)\).
Calculer la variation de l'angle droit entre
\[ \hat{\mathbf{a}} = \tfrac{1}{9}(8\hat{\mathbf{i}} - \hat{\mathbf{j}} + 4\hat{\mathbf{k}}), \quad \hat{\mathbf{b}} = \tfrac{1}{9}(4\hat{\mathbf{i}} + 4\hat{\mathbf{j}} - 7\hat{\mathbf{k}}) \]

Solution

(a) Le tenseur gradient de déplacement est

\[ \begin{aligned} \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right] &= \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}\\ &= 10^{-3} \begin{bmatrix} 2(x+y) & 2(x+y) & 0 \\ 0 & 2(y-z) & -2(y-z) \\ -z & 0 & -x \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Évaluation au point \(P(0,1,-2)\) :

\[ \nabla \mathbf{u} =10^{-3} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -6 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Le tenseur des déformations est donné par \[ \boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{2} \big( \nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^T \big) \] \[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{10^{-3}}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -6 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \end{bmatrix} \right) \]

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = 10^{-3} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & -3 \\ 1 & -3 & 0 \end{bmatrix} \]

(b) Nous considérons \(\hat{\mathbf{e}}_{1'} = \hat{\mathbf{a}}\), \(\hat{\mathbf{e}}_{2'} = \hat{\mathbf{b}}\). Ce sont tous deux des vecteurs unitaires.

La variation de l'angle est liée à la déformation de cisaillement conventionnelle : \[ \gamma_{1'2'} = 2 \, \varepsilon_{1'2'} \]

Pour calculer \(\boldsymbol{\epsilon}'\), nous faisons tourner \(\boldsymbol{\epsilon}\) dans la base \(\{\hat{\mathbf{e}}_{1'}, \hat{\mathbf{e}}_{2'}, \hat{\mathbf{e}}_{3'}\}\), où

\[ \hat{\mathbf{e}}_{3'} = \hat{\mathbf{e}}_{1'} \times \hat{\mathbf{e}}_{2'} = -\tfrac{1}{9}\hat{\mathbf{i}} + \tfrac{8}{9}\hat{\mathbf{j}} + \tfrac{4}{9}\hat{\mathbf{k}} \]

La matrice de transformation est

\[ L = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{e}}_{1'} & \hat{\mathbf{e}}_{2'} & \hat{\mathbf{e}}_{3'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8/9 & 4/9 & -1/9 \\ -1/9 & 4/9 & 8/9 \\ 4/9 & -7/9 & 4/9 \end{bmatrix} \]

Le tenseur des déformations dans cette base tournée est

\[ \boldsymbol{\epsilon}' = L^T \, \boldsymbol{\epsilon} \, L \]

\[ \boldsymbol{\epsilon}' =10^{-3} \begin{bmatrix} 2.5432 & 0.9877 & -0.2469 \\ & 1.1852 & -0.29630 \\ \text{sym} & & 0.0741 \end{bmatrix} \]

Par conséquent,

\[ \Delta \theta = 2 \times 0.9877 \times 10^{-3}= 1.9753\times 10^{-3} \]