Transformation des déformations

Rappelons que $𝝐 = \frac{1}{2} (𝐮 \nabla + (𝐮 \nabla)^{T}) .$ ou $𝝐 = \frac{1}{2} ([\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{1}} & \frac{\partial}{\partial x_{2}} & \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{matrix}])$

Pour exprimer les composantes de la déformation dans un nouveau système de coordonnées, nous devons exprimer à la fois le déplacement $𝐮$ et $\nabla$ dans le nouveau système de coordonnées. C'est-à-dire,

Par conséquent, pour exprimer en fonction des composantes de la déformation dans l'ancien système de coordonnées, nous devons :

exprimer les composantes du déplacement dans le nouveau système de coordonnées en fonction des composantes du déplacement dans l'ancien système de coordonnées
exprimer la différentiation par rapport à un nouvel axe de coordonnées en termes de différentiation par rapport aux anciennes coordonnées.

Transformation du déplacement

Le déplacement est une grandeur vectorielle. Par conséquent, ses composantes dans un nouveau système de coordonnées suivent la transformation des vecteurs : ou

où est la k-ième composante du i-ième vecteur unitaire du nouveau système de coordonnées :

Transformation des dérivées

Il découle de la règle de dérivation en chaîne que

Le taux de variation d'une ancienne coordonnée par rapport à une nouvelle coordonnée est le cosinus de l'angle entre elles :

Par conséquent,

Nous pouvons écrire (6) sous la forme

et pour toutes les nouvelles coordonnées :

Gradient dans les nouvelles coordonnées

En combinant (1) et (6), nous obtenons Alternativement, en utilisant la notation matricielle et (2) et (7), nous pouvons écrire

Loi de transformation pour le tenseur des déformations

Puisque $𝝐 = \frac{1}{2} (𝐮 \nabla + (𝐮 \nabla)^{T}),$ nous concluons que C'est la même formule de transformation que pour la contrainte :

Cas particulier : Transformation 2D

En 2D, $L = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]$

Par conséquent,

Cela montre que pour transformer les composantes de la déformation dans un problème 2D, nous pouvons utiliser le cercle de Mohr, exactement comme pour la contrainte.

Example 1.

Exemple : Le champ de déplacement d'un corps sous contrainte est spécifié par
$u = 10^{- 3} (x + y)^{2} m, v = 10^{- 3} (y - z)^{2} m, w = - 10^{- 3} x z m$

Trouver le tenseur des déformations au point $P (0, 1, - 2)$ .
Calculer la variation de l'angle droit entre
$\hat{𝐚} = \frac{1}{9} (8 \hat{𝐢} - \hat{𝐣} + 4 \hat{𝐤}), \hat{𝐛} = \frac{1}{9} (4 \hat{𝐢} + 4 \hat{𝐣} - 7 \hat{𝐤})$

Solution

(a) Le tenseur gradient de déplacement est

Évaluation au point $P (0, 1, - 2)$ :

$\nabla 𝐮 = 10^{- 3} [\begin{matrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 6 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Le tenseur des déformations est donné par $𝜺 = \frac{1}{2} (\nabla 𝐮 + (\nabla 𝐮)^{T})$ $𝜺 = \frac{10^{- 3}}{2} ([\begin{matrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 6 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 0 & 2 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 \end{matrix}])$

$𝜺 = 10^{- 3} [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 6 & - 3 \\ 1 & - 3 & 0 \end{matrix}]$

(b) Nous considérons , . Ce sont tous deux des vecteurs unitaires.

La variation de l'angle est liée à la déformation de cisaillement conventionnelle :

Pour calculer , nous faisons tourner $𝝐$ dans la base , où

La matrice de transformation est

Le tenseur des déformations dans cette base tournée est

Par conséquent,

$Δ θ = 2 \times 0.9877 \times 10^{- 3} = 1.9753 \times 10^{- 3}$