Équations de compatibilité

Compatibilité des composantes de déformation

Précédemment, nous avons prouvé que le tenseur des contraintes ne peut pas varier arbitrairement dans une région. En fait, sa variation est contrainte par les lois de Newton. La question est maintenant : les composantes de la déformation peuvent-elles varier arbitrairement ? La réponse est non. Il existe des restrictions sur la façon dont la déformation peut varier dans un corps. Ces restrictions sont connues sous le nom d'équations de compatibilité.

Pour de petites déformations, les composantes de déformation sont reliées au champ de déplacement $𝐮$ par $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}).$$ Lorsque le champ de déplacement $𝐮$ est connu, les composantes de déformation peuvent être facilement calculées à partir de l'équation ci-dessus. Cependant, le problème inverse de déterminer le champ de déplacement correspondant à un champ de déformation donné est bien plus complexe.

Il existe six composantes de déformation indépendantes $({ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$ , ${ϵ}_{yz}$, ${ϵ}_{xz}$, ${ϵ}_{xy}$) et seulement trois composantes de déplacement. Cela signifie qu'il y a six équations pour trois fonctions inconnues $u_x,u_y,u_z$. Par conséquent, nous ne nous attendons pas à ce que le système d'équations ait des solutions à valeur unique si les fonctions ${ϵ}_{ij}$ sont choisies arbitrairement.

Équations de compatibilité

Pour garantir qu'un ensemble de composantes de déformation corresponde à un champ de déplacement physiquement possible, certaines conditions de compatibilité doivent être satisfaites. Ces conditions sont dérivées en éliminant les composantes de déplacement $u,v,w$ des relations déformation–déplacement.

À partir des définitions des composantes de déformation, nous avons : $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},{ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},2{ϵ}_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$ En prenant les dérivées secondes appropriées, nous trouvons : $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y^2},\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y\partial x^2},2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^2\partial y}+\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y^2\partial x}.$$

En combinant ces relations et en reconnaissant que les dérivées partielles mixtes sont égales, nous obtenons : $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}.}$$

C'est l'une des équations de compatibilité que les composantes de déformation doivent satisfaire pour qu'il existe un champ de déplacement continu et à valeur unique.

Relations supplémentaires

En effectuant des permutations circulaires des coordonnées $x,y,z$, deux relations supplémentaires du même type peuvent être dérivées.

La différenciation des relations déformation–déplacement tridimensionnelles donne des expressions telles que : $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial z}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y\partial x},$$ et des relations similaires pour les autres composantes.

En combinant celles-ci et en éliminant $u,v,w$, nous obtenons : $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{xz}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}).}$$

Par permutation circulaire de $x,y,z$, nous obtenons trois autres relations de ce type, ce qui donne un total de six équations de compatibilité en trois dimensions.

$$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yz}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial y^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zx}}{\partial z\partial x}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial z^2}.$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}(-\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}),$$

Pour une région simplement connexe¹ (c'est-à-dire un corps matériel sans trous ni discontinuités), les équations de compatibilité sont à la fois nécessaires et suffisantes pour garantir que le champ de déplacement existe et est à valeur unique.

Si la région est multiconnexe (par exemple, contenant des trous ou des vides), des conditions supplémentaires doivent être appliquées pour assurer la compatibilité dans tout le corps (voir la référence suivante).

Il est important de noter que ces équations ne sont pas nécessaires lorsque les composantes de déplacement $u,v,w$ sont traitées comme les inconnues principales, car elles satisfont automatiquement les relations déformation–déplacement. Cependant, lorsque l'on travaille directement avec les composantes de déformation comme inconnues, les équations de compatibilité doivent être imposées pour garantir que le champ de déformation résultant corresponde à une déformation valide.

Puisque les composantes de déformation décrivent les positions relatives des points à l'intérieur d'un corps, et que le mouvement de corps rigide ne produit aucune déformation, les composantes de déplacement ne peuvent être déterminées qu'à un mouvement de corps rigide arbitraire près. En d'autres termes, même si les composantes de déformation satisfont les équations de compatibilité, le champ de déplacement n'est pas déterminé de manière unique.

Référence

Fung, Y. C. (1965). Foundations of continuum mechanics. Prentice-Hall.