Vecteur traction ou vecteur contrainte

Considérez une surface imaginaire qui coupe un corps en deux parties.

Un ellipsoïde bleu en 3D dans un système de coordonnées est coupé par un plan jaune. Des flèches rouges indiquent les forces externes agissant sur sa surface, et une flèche blanche étiquetée ρb représente une force de volume comme la gravité.
Un plan imaginaire coupe un corps continu qui est soumis à des forces de surface externes. Adapté de Wikipedia

Le matériau d'un côté de la surface exerce un système de forces sur le matériau de l'autre côté.

La moitié gauche du corps bleu coupé est représentée. La surface de coupe plane et circulaire présente de nombreuses petites flèches noires pointant vers l'extérieur, représentant la distribution des forces internes.
Une section du corps est retirée, révélant une distribution continue de forces internes agissant sur la surface interne nouvellement exposée, centrée au point P.

Sur un petit élément de surface \(\Delta S\) entourant un point \(P\) sur cette surface, la résultante de la distribution réelle de force sur cette surface est une force \(\Delta \mathbf{F}\) et un moment \(\Delta \mathbf{M}\). Soit \(\hat{\mathbf{n}}\) la normale unitaire sortante de la surface au point \(P\).

Un gros plan sur la surface de coupe montre une petite zone circulaire jaune ΔS. Les vecteurs de la force résultante ΔF, du moment résultant ΔM et du vecteur normal n partent de son point central P.
Sur une petite surface ΔS autour du point P, les forces internes distribuées sont représentées par une force résultante ΔF et un moment résultant ΔM. Le vecteur n est normal à la surface.

Maintenant, nous laissons \(\Delta S\) tendre vers zéro autour de \(P\) de telle sorte que sa plus grande dimension tende également vers zéro.1 Alors que \(\Delta\mathbf{F}\) et \(\Delta \mathbf{M}\) tendent également vers zéro, une hypothèse fondamentale de la mécanique des milieux continus est que le rapport \(\dfrac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta S}\) approche une limite définie, tandis que l'effet du moment s'annule.2 Cette limite du rapport de force est appelée le vecteur traction ou vecteur contrainte, noté par \(\mathbf{t}^{(\hat{\mathbf{n}})}\) : \[ \mathbf{t}^{(\hat{\mathbf{n}})}=\frac{d\mathbf{F}}{dS}. \]

Un gros plan sur la surface de coupe montre une petite zone circulaire jaune ΔS. Les vecteurs de la force résultante ΔF, du moment résultant ΔM et du vecteur normal n partent de son point central P.
À mesure que l'aire se réduit à un point infinitésimal dS, l'intensité de la force est définie comme le vecteur traction, qui est la force infinitésimale dF par unité de surface dS.

Une hypothèse plus forte, connue sous le nom de postulat de Cauchy, est également formulée : le vecteur traction \(\mathbf{t}^{(\hat{\mathbf{n}})}\) ne dépend que du point \(P\) et de l'orientation de la surface, \(\hat{\mathbf{n}}\), et est indépendant de la forme de l'élément ou de la courbure de la surface. L'exposant \((\hat{\mathbf{n}})\) signifie cette dépendance vis-à-vis du vecteur normal.3

Le vecteur contrainte peut être décomposé en deux composantes : une contrainte normale \(\sigma_n\) qui est perpendiculaire à \(\Delta S\) et une contrainte de cisaillement (ou contrainte de cisaillement) \(\tau_n\) qui se situe dans le plan.

Un corps sectionné dans un système de coordonnées 3D montre le vecteur traction t(n) au point P. Ce vecteur est décomposé en sa composante normale, sigma_n, perpendiculaire à la surface, et sa composante de cisaillement, tau_n, parallèle à la surface, illustrant que le vecteur traction est la somme de ces deux composantes de contrainte.
Le vecteur traction (également appelé vecteur contrainte) t(n) en un point P sur une surface interne est décomposé en deux composantes : une composante de contrainte normale σn, qui agit perpendiculairement à la surface, et une composante de contrainte de cisaillement τn, qui agit parallèlement à la surface.
  1. Notez que \(\Delta S\to 0\) est en contradiction avec le fait que les matériaux sont composés d'atomes et de molécules, mais gardez à l'esprit que (a) nous avons supposé que le matériau est continu et qu'il n'y a pas d'espace vide entre les particules. (b) La définition ci-dessus est très abstraite et n'est jamais utilisée en pratique.↩︎
  2. Une branche de la mécanique des milieux continus appelée théorie des contraintes de couple (ou théorie de Cosserat) explore les matériaux où \(\dfrac{\Delta\mathbf{M}}{\Delta S}\) ne tend pas vers zéro. Au lieu de cela, il tend vers une limite appelée le vecteur contrainte de couple, qui est important pour la modélisation de matériaux ayant une microstructure interne significative.↩︎
  3. Notez que \(\Delta S\to 0\) est en contradiction avec le fait que les matériaux sont composés d'atomes et de molécules, mais gardez à l'esprit que (a) nous avons supposé que le matériau est continu et qu'il n'y a pas d'espace vide entre les particules. (b) La définition ci-dessus est très abstraite et n'est jamais utilisée en pratique.↩︎