Variation de la contrainte au sein d'un corps

Dans un corps soumis à des contraintes, les composantes de la contrainte varient généralement d'un point à l'autre. Ces variations ne sont pas arbitraires ; elles sont régies par la deuxième loi de Newton. En appliquant cette loi à un élément infinitésimal, on peut trouver les équations gouvernant la variation de la contrainte dans un corps.

Considérons un élément de dimensions $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ et $\mathrm{\Delta }z$. Les composantes de contrainte agissent sur chaque face de cet élément. Sur chaque face de cet élément cuboïdal, les composantes de contrainte peuvent différer de celles sur la face opposée. Par exemple, si la composante xx de la contrainte sur une face est ${\sigma }_{xx}$, alors sur la face opposée, elle sera prise comme ${\sigma }_{xx}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}$​.

Soit $𝐛$ la force volumique par unité de masse. Par exemple, si l'on ne considère que la gravité, alors $b=g$, où $g$ est l'accélération gravitationnelle. Par conséquent, la composante $x$ de la force due à la force volumique est $$\rho b_x\mathrm{\Delta }V=\rho b_x(\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z).$$où $\rho$ est la masse volumique au point.

Maintenant, en sommant les forces agissant dans la direction xxx dues aux contraintes sur toutes les faces et à la force volumique, et en appliquant la deuxième loi de Newton $\sum F_x=m{a}_x$, on obtient Après simplification et en divisant les deux côtés par le volume $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$, on obtient : $$\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{yx}}{\mathrm{\Delta }y}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{zx}}{\mathrm{\Delta }z}+\rho b_x=\rho a_x$$ À la limite où $\mathrm{\Delta }x\to 0$, $\mathrm{\Delta }y\to 0$ et $\mathrm{\Delta }z\to 0$, les rapports de différences finies deviennent des dérivées partielles : $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho a_x$$ En répétant ce processus pour les directions y et z ($\sum F_y=m{a}_y$ et $\sum F_z=m{a}_z$), on aboutit au système complet d'équations : Ces trois équations peuvent s'écrire de manière concise : $$\boxed{\sum _{j=1}^3\frac{\partial {\sigma }_{ji}}{\partial x_j}+\rho b_i=\rho a_i(i=1,2,3)}$$ Cela s'écrit également couramment en notation vectorielle ou tensorielle : $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho 𝐚$$ ce qui signifie Cette équation est connue sous le nom de première loi du mouvement de Cauchy.