Symétrie du tenseur des contraintes

Considérons un cuboïde rectangulaire de dimensions $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$, et $\mathrm{\Delta }z$.

Il découle de la deuxième loi de Newton pour le mouvement de rotation que $$\sum M_z=I_{zz}{\alpha }_z$$ où $M_z$ est le moment résultant autour de l'axe z, $I_{zz}$ est le moment d'inertie (ou masse rotationnelle) autour de l'axe $z$ et ${\alpha }_z$ est l'accélération angulaire.

En statique, nous rappelons que le moment d'inertie d'un bloc rectangulaire autour de l'axe $z$ centroidal est $$I_{zz}=\frac{1}{12}m[(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2]$$ où $m$ est la masse de l'élément. En exprimant $m$ en termes de densité, nous pouvons écrire $$m=\rho \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$$ où $\rho$ est la masse volumique du matériau au point.

Les composantes de contrainte qui contribuent à $M_z$ sont les contraintes de cisaillement dans le plan $xy$. Les forces volumiques ne contribuent pas au moment. Ainsi, le moment total peut être exprimé par En égalant cela à l'expression de l'inertie, nous obtenons En négligeant les termes d'ordre supérieur, nous obtenons $$0={\sigma }_{xy}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z-{\sigma }_{yx}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z,$$ ce qui conduit à
$${\sigma }_{xy}={\sigma }_{yz}$$

En appliquant la même logique pour les rotations autour des axes x et y, nous pouvons prouver que ${\sigma }_{yz}={\sigma }_{zy}$ et ${\sigma }_{xz}={\sigma }_{zx}$. Cela signifie qu'en général $${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$$ et le tenseur des contraintes est toujours symétrique, et pour le spécifier, nous n'avons besoin que de 6 composantes indépendantes (au lieu de 9). Le résultat reste valable que le corps soit au repos, en mouvement uniforme ou en accélération. ¹ Ce résultat est connu sous le nom de Deuxième loi du mouvement de Cauchy.