Relation entre le vecteur de traction et le tenseur des contraintes

Pour trouver le vecteur de traction $t^{(\hat{n})}$ sur un plan arbitraire de normale unitaire $\hat{n} = n_{x} \hat{i} + n_{y} \hat{j} + n_{z} \hat{z}$ , nous analysons l'équilibre d'un tétraèdre infinitésimal. La face d'aire $Δ S$ est la face oblique, et ses projections sur les plans de coordonnées ont des aires $Δ S_{x}$ , $Δ S_{y}$ et $Δ S_{z}$ .

Puisque le tétraèdre est en équilibre statique, la somme de toutes les forces doit être nulle. L’équilibre des forces dans la direction x donne : $t_{x} Δ S = σ_{x x} Δ S_{x} + σ_{y x} Δ S_{y} + σ_{z x} Δ S_{z} + ρ b_{x} Δ V$ Ici, le terme $t_{x} Δ S$ est la force sur la face oblique, les termes $σ$ sont les forces sur les faces de coordonnées, et $ρ b_{x} Δ V$ est la force volumique.

Nous pouvons utiliser deux relations géométriques clés :

Les aires des faces de coordonnées sont les projections de la face oblique : $Δ S_{x} = n_{x} Δ S, Δ S_{y} = n_{y} Δ S, Δ S_{z} = n_{z} Δ S .$
Le volume d’un tétraèdre est $Δ V = \frac{1}{3} h Δ S$ , où $h$ est la hauteur perpendiculaire du point $P$ à la face oblique.

En substituant ces relations dans l’équilibre des forces et en divisant par $Δ S$ , nous obtenons : $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z} + ρ b_{x} h$

Pour trouver le vecteur de traction au point $P$ , nous faisons tendre les dimensions du tétraèdre vers zéro. Dans cette limite, la hauteur $h$ tend vers zéro, ce qui fait disparaître le terme de force volumique. Il en résulte la composante x du vecteur de traction : $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z}$

En appliquant la même logique aux directions y et z, nous obtenons les autres composantes : Cet ensemble d’équations est connu sous le nom de formule des contraintes de Cauchy. En notation matricielle, en traitant les vecteurs traction et normal comme des vecteurs lignes, cette relation s’écrit : $[\begin{matrix} t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}] ou 𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈$

Comme discuté précédemment, le vecteur de traction (également appelé contrainte) peut être décomposé en deux composantes : (1) une composante de contrainte normale et (2) une composante de contrainte de cisaillement.

Le vecteur de traction (également appelé vecteur contrainte) t(n) en un point P d’une surface interne est décomposé en deux composantes : une composante de contrainte normale σn, qui agit perpendiculairement à la surface, et une composante de contrainte de cisaillement τn, qui agit parallèlement à la surface. — **Figure 1** Le vecteur traction (également appelé vecteur contrainte) t(n) en un point P d’une surface interne est décomposé en deux composantes : une composante de contrainte normale σn, qui agit perpendiculairement à la surface, et une composante de contrainte de cisaillement τn, qui agit parallèlement à la surface.

D’après la figure ci-dessus, il est clair que $σ_{n} = 𝐭^{(\hat{𝐧})} \cdot \hat{𝐧}$ et donc $τ_{n} = | 𝐭^{(\hat{𝐧})} - σ_{n} \hat{𝐧} |$

Exemple 1.

Exemple¹ Un point matériel est dans un état de contrainte ayant les composantes suivantes : $𝝈 = [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}]$

Calculer le vecteur de traction sur un plan coupant les axes x, y, z respectivement à 1, 2 et 3.
Calculer la norme de la contrainte normale sur le plan.
Calculer la norme de la contrainte de cisaillement sur le plan.
Calculer la direction de la contrainte de cisaillement sur le plan.

Solution

Nous trouvons d’abord le vecteur unitaire normal au plan.

L’équation d’un plan coupant les axes en x=1, y=2, z=3 est : $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ Ce plan est normal au vecteur : $𝐧 \propto [\begin{matrix} \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}]$

En normalisant : $𝐧 = \frac{1}{\sqrt{(1)^{2} + (1 / 2)^{2} + (1 / 3)^{2}}} [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}]$

(a) Vecteur de traction sur le plan

Le vecteur de traction est : $𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈 = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}]$

(b) Contrainte normale sur le plan

La contrainte normale est la projection de $𝐭$ sur $𝐧$ :

$σ_{n} = 𝐭 \cdot \hat{𝐧} = \frac{22}{7} \cdot \frac{6}{7} + \frac{33}{7} \cdot \frac{3}{7} + \frac{56}{7} \cdot \frac{2}{7} = 7$

(c) et (d) Vecteur contrainte de cisaillement et sa norme

Le vecteur contrainte de cisaillement est la composante de $𝐭$ tangente au plan :

$𝝉 = 𝐭 - σ_{n} 𝐧$ $𝝉 = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}] - 7 [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] = \frac{1}{7} [\begin{matrix} - 20 & 12 & 42 \end{matrix}]$

La norme est : $| 𝝉 | = \sqrt{{(- \frac{20}{7})}^{2} + {(\frac{12}{7})}^{2} + {(\frac{42}{7})}^{2}} = 6, 86$

La direction est : $\hat{𝝉} = \frac{𝝉}{| 𝝉 |} = \frac{1}{\sqrt{(- 20)^{2} + 12^{2} + 42^{2}}} [\begin{matrix} - 20 \\ 12 \\ 42 \end{matrix}]$

✅ Résultats finaux

Vecteur traction : $𝐭 = (\frac{22}{7}, \frac{33}{7}, \frac{56}{7})$
Contrainte normale : $σ_{n} = 7$
Norme de la contrainte de cisaillement : $| 𝝉 | = 6, 86$
Direction de la contrainte de cisaillement : le long de $[- 20, 12, 42]$

Cet exemple est tiré des notes de cours du Prof. Suo pour le cours ES240 à l’Université Harvard, avec des adaptations mineures.↩︎