Force résultante, moment et relations de contrainte

Une coupe imaginaire (ou section) à travers un élément porteur de charge peut révéler les forces internes. La distribution complexe des forces agissant sur cette surface de coupe est équipollente à une force et un moment.

Nous pouvons décomposer cette force et ce moment résultants en composantes selon les axes de coordonnées pour étudier leurs effets. Si nous supposons que la coupe est faite perpendiculairement à l'axe x (l'axe longitudinal de l'élément), nous obtenons six résultantes internes distinctes, chacune correspondant à un mode de chargement spécifique :

Les composantes de la force sont : 1. Force axiale (P) : Cette force agit perpendiculairement à la section. Elle tend à l'étirer ou à la comprimer. 2. Forces de cisaillement $V_y$ et $V_z$ : Ces forces agissent parallèlement à la surface de coupe, et provoquent le glissement d'une portion de l'élément par rapport à la portion adjacente.

Les composantes du moment sont : 1. Couple de torsion ou moment de torsion (T) qui tente de tordre l'élément ou de le faire tourner le long de l'axe x. 2. Moments de flexion $M_y$ et $M_z$. Ces moments tentent de plier.

Ces six résultantes ne sont pas arbitraires ; elles sont la somme mathématique directe (l'intégrale) des contraintes agissant sur toute la surface de la coupe.

Si nous considérons un petit élément sur la section, alors $$d{F}_x={\sigma }_{xx}dS,d{F}_y={\sigma }_{xy}dS,d{F}_z={\sigma }_{xz}dS$$

La somme de ces forces donne : De même, les moments générés par la distribution des contraintes sont obtenus en intégrant le moment de chaque force élémentaire par rapport aux axes centroïdes de la section.