Composantes de contrainte

Une infinité de plans peuvent passer par un point $P$ , chacun avec sa propre normale $\hat{𝐧}$ et un vecteur de traction $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ correspondant. La totalité de ces paires définit l'état de contrainte en $P$ . Dans la section suivante, nous montrerons que l'état de contrainte peut être entièrement déterminé en connaissant les vecteurs de traction sur seulement trois plans mutuellement perpendiculaires. Autrement dit, si nous connaissons les composantes du vecteur de traction sur trois plans mutuellement perpendiculaires, nous pouvons déterminer le vecteur de traction sur n'importe quel plan arbitraire.

Soient les normales unitaires de ces trois plans les vecteurs de base ${\hat{𝐞}}_{1}$ , ${\hat{𝐞}}_{2}$ et ${\hat{𝐞}}_{3}$ .^[1] Le vecteur de traction sur le plan perpendiculaire à l'axe x₁ est $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{1})}$ . Pour simplifier, on note $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{i})}$ par $𝐭^{(i)}$ . Puisque chaque $𝐭^{(i)}$ est un vecteur, il a trois composantes dans la base :

On note la j-ième composante du vecteur $𝐭^{(i)}$ par $σ_{i j}$ . Ces neuf valeurs scalaires sont les composantes du tenseur des contraintes de Cauchy. Elles sont généralement disposées en matrice :

[𝝈] = [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}]

Si la normale d'un plan est ${\hat{𝐞}}_{1}$ , la composante $t_{1}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{1} = σ_{11} {\hat{𝐞}}_{1}$ est normale à la surface, tandis que $t_{2}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{2} = σ_{12} {\hat{𝐞}}_{2}$ et $t_{3}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{3} = σ_{13} {\hat{𝐞}}_{3}$ sont les composantes de cisaillement.

En général, les composantes diagonales $σ_{i i}$ ( $σ_{11}$ , $σ_{22}$ , $σ_{33}$ ) sont appelées contraintes normales, tandis que les composantes hors diagonale $σ_{i j}$ où $i \neq j$ ( $σ_{12}$ , $σ_{13}$ , etc.) sont appelées contraintes de cisaillement.

Autres notations

Parmi les autres notations courantes pour la matrice du tenseur des contraintes, on trouve :

[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}], [\begin{matrix} τ_{x x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & τ_{y y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & τ_{z z} \end{matrix}],

et la notation de l'ingénieur, qui utilise $σ$ pour les contraintes normales et $τ$ pour les contraintes de cisaillement :

[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z} \end{matrix}]

Unités de contrainte

Dans le système international (SI) :

La force est mesurée en newtons (N)
La surface est mesurée en mètres carrés (m $^{2}$ )
La contrainte étant une force divisée par une surface, elle est mesurée en N/m $^{2}$ . Cette unité est appelée pascal et notée Pa :
$1 Pa = 1 {N/m}^{2}$
Le pascal étant une unité assez petite, la contrainte est souvent mesurée en
- kPa = kilo (10 $^{3}$ ) pascal,
- MPa = méga (10 $^{6}$ ) pascal
- GPa = giga (10 $^{9}$ ) pascal

Dans le système coutumier américain :

La force est mesurée en livres (lb)
La surface est mesurée en pouces carrés (in $^{2}$ )
La contrainte est exprimée en livres par pouce carré (psi) ou en kilolivres par pouce carré (ksi) $1 ksi = 10^{3} psi = 10^{3} {lb/in}^{2} .$

Convention de signe

Une face est dite positive si son vecteur normal sortant est aligné avec un axe de coordonnées positif, et négative si sa normale sortante est alignée avec un axe de coordonnées négatif.

Une composante de contrainte est considérée comme positive si elle agit dans une direction positive sur une face positive, ou si elle agit dans une direction négative sur une face négative. Une conséquence importante de cette convention est que les contraintes normales de traction sont positives et les contraintes de compression sont négatives.

ou $\hat{𝐢}$ , $\hat{𝐣}$ et $\hat{𝐤}$ . ↩