Signification Géométrique de la Différentiation
Il est utile de considérer quelle signification géométrique peut être attribuée à la dérivée.
En premier lieu, toute fonction de \(x\), telle que, par exemple, \(x^2\), ou \(\sqrt{x}\), ou \(ax+b\), peut être tracée sous forme de courbe ; et de nos jours, de nombreux étudiants sont familiers avec le processus de traçage de courbes. Divers outils sont disponibles pour tracer des courbes, tels que les calculatrices graphiques, Wolfram Alpha,1 MATLAB, Python, ou même Microsoft Excel.
Soit \(PQR\), dans la figure suivante, une portion de courbe tracée par rapport aux axes \(x\) et \(y\). Considérons un point \(Q\) sur cette courbe avec les coordonnées \((x,y)\) (c'est-à-dire que l'abscisse du point est \(x\) et son ordonnée est \(y\)).
Observez maintenant comment \(y\) change lorsque \(x\) est modifié. Si vous augmentez \(x\) d'un petit incrément \(dx\) vers la droite, il sera observé que \(y\) augmente également (dans cette courbe particulière) d'un petit incrément \(dy\) (car cette courbe particulière arrive à être une courbe ascendante). Alors le rapport de \(dy\) à \(dx\) est une mesure du degré auquel la courbe est inclinée vers le haut entre les deux points \(Q\) et \(T\). En fait, il peut être vu sur la figure que la courbe entre \(Q\) et \(T\) a de nombreuses inclinaisons différentes, si bien que nous ne pouvons pas vraiment parler de l'inclinaison de la courbe entre \(Q\) et \(T\). Si, cependant, \(Q\) et \(T\) sont si voisins que la petite portion \(QT\) de la courbe est pratiquement droite, alors il est vrai de dire que le rapport \(\dfrac{dy}{dx}\) est la pente de la courbe le long de \(QT\). La ligne droite \(QT\) prolongée de chaque côté touche la courbe le long de la portion \(QT\) uniquement, et si cette portion est indéfiniment petite, la ligne droite touchera la courbe à pratiquement un seul point, et sera donc une tangente à la courbe.
Cette tangente à la courbe a manifestement la même pente que \(QT\), de sorte que \(\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}\) est la pente de la tangente à la courbe en le point \(Q\) pour lequel la valeur de \(\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}\) est trouvée.
Nous avons vu que la courte expression « la pente d'une courbe » n'a pas de signification précise, parce qu'une courbe a tant de pentes – en fait, chaque petite portion d'une courbe a une pente différente. "La pente d'une courbe en un point" est, cependant, une chose parfaitement définie ; c'est la pente d'une très petite portion de la courbe située juste à ce point; et nous avons vu que cela est le même que "la pente de la tangente à la courbe à ce point".
La pente d'une courbe en un point est la pente de la tangente à la courbe à ce point.
Observez que \(dx\) est un petit pas vers la droite, et \(dy\) le petit pas correspondant vers le haut. Ces pas doivent être considérés aussi courts que possible — en fait indéfiniment courts, — bien que dans les diagrammes nous devons les représenter par des morceaux qui ne sont pas infiniment petits, sinon ils ne pourraient pas être vus.
Nous ferons ici un usage considérable de cette circonstance que \(\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}\) représente la pente de la courbe à tout point.
Si une courbe monte à \(45^\circ\) à un point particulier, comme dans la figure suivante, \(dy\) et \(dx\) seront égaux, et la valeur de \(\dfrac{dy}{dx} = 1\).
Si la courbe monte plus abruptement que \(45^\circ\) (figure suivante), \(\dfrac{dy}{dx}\) sera supérieur à \(1\).
Si la courbe monte très doucement, comme dans la figure suivante, \(\dfrac{dy}{dx}\) sera une fraction inférieure à \(1\).
Pour une ligne horizontale, ou une place horizontale dans une courbe, \(dy=0\), et donc \(\dfrac{dy}{dx}=0\).
Si une courbe descend, comme dans la figure suivante, \(dy\) sera un pas vers le bas, et doit donc être considéré comme une valeur négative ; ainsi \(\dfrac{dy}{dx}\) aura également un signe négatif.
Si la "courbe" se trouve être une ligne droite, comme dans la figure suivante, la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\) sera la même à tous les points le long d'elle. En d'autres termes, sa pente est constante.
Si une courbe est une courbe qui se redresse vers le haut au fur et à mesure qu'elle avance vers la droite, les valeurs de \(\dfrac{dy}{dx}\) deviendront de plus en plus grandes avec l'augmentation de la pente, comme dans la figure suivante.
Si une courbe devient de plus en plus plate à mesure qu'elle avance, les valeurs de \(\dfrac{dy}{dx}\) deviendront de plus en plus petites à mesure qu'on atteint la partie plus plate, comme dans la figure suivante.
Si une courbe descend d'abord, puis remonte, comme dans la figure suivante, présentant une concavité vers le haut, alors clairement \(\dfrac{dy}{dx}\) sera d'abord négatif, avec des valeurs décroissantes à mesure que la courbe se redresse, puis il sera nul au point où le fond de la courbe est atteint; et à partir de ce point \(\dfrac{dy}{dx}\) aura des valeurs positives qui iront en augmentant. Dans un tel cas, \(y\) est dit passer par un minimum. La valeur minimale de \(y\) n'est pas nécessairement la plus petite valeur de \(y\), c'est cette valeur de \(y\) qui correspond au bas du creux; par exemple, dans la figure suivante, la valeur de \(y\) correspondant au fond du creux est \(1\), alors que \(y\) prend ailleurs des valeurs plus petites que celle-ci. La caractéristique d'un minimum est que \(y\) doit augmenter de chaque côté de celui-ci.
Note—Pour la valeur particulière de \(x\) qui rend \(y\) un minimum, la valeur de \(\dfrac{dy}{dx} = 0\).
Si une courbe monte d'abord puis descend, les valeurs de \(\dfrac{dy}{dx}\) seront d'abord positives; puis nulles, à mesure que le sommet est atteint ; puis négatives, à mesure que la courbe descend, comme dans la figure suivante. Dans ce cas, \(y\) est dit passer par un maximum, mais la valeur maximale de \(y\) n'est pas nécessairement la plus grande valeur de \(y\). Dans la figure ci-dessus, le maximum de \(y\) est \(2\frac{1}{3}\), mais ce n'est de loin pas la plus grande valeur \(y\) peut avoir à quelque autre point de la courbe.
Note—Pour la valeur particulière de \(x\) qui rend \(y\) un maximum, la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}= 0\).
Si une courbe a la forme particulière de la figure suivante, les valeurs de \(\dfrac{dy}{dx}\) seront toujours positives; mais il y aura un lieu particulier où la pente est la moins raide, où la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\) sera un minimum ; c'est-à-dire inférieure à celle de tout autre point de la courbe.
Si une courbe a la forme de la figure suivante, la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\) sera négative dans la partie supérieure, et positive dans la partie inférieure; tandis qu'au bout de la courbe où elle devient effectivement perpendiculaire, la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\) sera infiniment grande.
En résumé :
Quand \(x\) augmente
Si \(\dfrac{dy}{dx}>0\), \(\qquad y\) augmente ; la courbe monte vers la droite.
Si \(\dfrac{dy}{dx}<0\), \(\qquad y\) diminue ; la courbe descend vers la droite.
Maintenant que nous comprenons que \(\dfrac{dy}{dx}\) mesure la pente d'une courbe à tout point, tournons-nous vers certaines des équations que nous avons déjà appris à différencier.
Exemple 10.1. Comme cas le plus simple, prenons ceci : \[y=x+b.\]
Il est tracé dans la figure suivante, en utilisant des échelles égales pour \(x\) et \(y\). Si nous mettons \(x = 0\), l'ordonnée correspondante sera alors \(y = b\); c'est-à-dire que la "courbe" croise l'axe des \(y\) à la hauteur \(b\). À partir de là, elle monte à \(45^\circ\); pour toutes les valeurs que nous donnons à \(x\) vers la droite, nous avons un égal \(y\) à monter. La ligne a un gradient de \(1\) en \(1\).
Différencions maintenant \(y = x+b\), à l'aide des règles que nous avons déjà apprises, et nous obtenons \(\dfrac{dy}{dx} = 1\).
La pente de la ligne est telle que pour chaque petit pas \(dx\) vers la droite, nous faisons un petit pas \(dy\) égal vers le haut. Et cette pente est constante — toujours la même pente.
Exemple 10.2. Prenons un autre cas : \[y = ax+b.\] Nous savons que cette courbe, comme la précédente, commencera à une hauteur \(b\) sur l'axe des \(y\). Mais avant de dessiner la courbe, laissons-nous trouver sa pente en différenciant, ce qui donne \(\dfrac{dy}{dx} = a\). La pente sera constante, à un angle, dont la tangente est appelée ici \(a\). Assignons à \(a\) une certaine valeur numérique— disons \(\frac{1}{3}\). Nous devons alors lui donner une pente telle qu'elle monte de \(1\) en \(3\) ; ou \(dx\) sera \(3\) fois plus grand que \(dy\) ; comme illustré dans la figure suivante.
Alors, tracez la ligne à la pente suivante.
Passons maintenant à un cas légèrement plus difficile.
Exemple 10.3. Soit \[y= ax^2 + b.\]
Encore une fois, la courbe commencera sur l'axe des \(y\) à une hauteur \(b\) au-dessus de l'origine.
Différencions maintenant. [Si vous avez oublié, revenez en arrière; ou, plutôt, ne revenez pas en arrière, mais réfléchissez au différenciation.] \[\frac{dy}{dx} = 2ax.\]
Cela montre que la pente ne sera pas constante : elle monte à mesure que \(x\) grandit. Au point de départ \(P\), où \(x = 0\), la courbe (figure suivante) n'a pas de pente — c'est-à-dire qu'elle est horizontale. À gauche de l'origine, où \(x\) a des valeurs négatives, \(\dfrac{dy}{dx}\) aura également des valeurs négatives, ou descendra de gauche à droite, comme dans la Figure.
Illustrons cela en calculant un exemple particulier. Prenons l'équation \[y = \frac{1}{4}x^2 + 3,\] et la différenciant, nous obtenons \[\dfrac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x.\] Attribuons maintenant quelques valeurs successives, disons de \(0\) à \(5\), à \(x\); et calculons les valeurs correspondantes de \(y\) à partir de la première équation; et de \(\dfrac{dy}{dx}\) à partir de la deuxième équation. En tabulant les résultats, nous avons :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3\) | \(3\frac{1}{4}\) | \(4\) | \(5\frac{1}{4}\) | \(7\) | \(9\frac{1}{4}\) |
| \(\dfrac{dy}{dx}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(1\frac{1}{2}\) | \(2\) | \(2\frac{1}{2}\) |
Ensuite, tracez-les sous forme de deux courbes, Fig. 10.18 et Fig. 10.19; dans la Fig. 10.18 tracer les valeurs de \(y\) contre celles de \(x\) et dans la Fig. 10.19 celles de \(\dfrac{dy}{dx}\) contre celles de \(x\). Pour toute valeur attribuée de \(x\), la hauteur de l'ordonnée dans la deuxième courbe est proportionnelle à la pente de la première courbe.
Si une courbe vient à un brusque sommet, comme dans la figure suivante, la pente à ce point change brusquement d'une pente ascendante à une pente descendante. Dans ce cas, \(\dfrac{dy}{dx}\) subira clairement un changement soudain d'une valeur positive à une valeur négative.
Les exemples suivants montrent d'autres applications des principes expliqués précédemment.
Exemple 10.4. (a) Trouver la pente de la tangente à la courbe \[y = \frac{1}{2x} + 3,\] au point où \(x = -1\). (b) Trouver l'angle que cette tangente fait avec la courbe \(y = 2x^2 + 2\).
Solution. (a) La pente de la tangente est la pente de la courbe au point où elles se touchent mutuellement; c'est-à-dire, c'est le \(\dfrac{dy}{dx}\) de la courbe pour ce point. Ici \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2x^2}\) et pour \(x = -1\), \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2}\), qui est la pente de la tangente et de la courbe à ce point. La tangente, étant une ligne droite, a pour équation \(y = ax + b\), et sa pente est \(\dfrac{dy}{dx} = a\), donc \(a = -\dfrac{1}{2}\). De plus, si \(x= -1\), \(y = \dfrac{1}{2(-1)} + 3 = 2\frac{1}{2}\); et comme la tangente passe par ce point, les coordonnées du point doivent satisfaire l'équation de la tangente, à savoir \[y = -\dfrac{1}{2} x + b,\] donc \(2\frac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} \times (-1) + b\) et \(b = 2\); l'équation de la tangente est donc \(y = -\dfrac{1}{2} x + 2\) (voir la figure suivante).
(b) Maintenant, lorsque deux courbes se rencontrent, l'intersection étant un point commun aux deux courbes, ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de chacune des deux courbes; c'est-à-dire qu'il doit être une solution du système d'équations simultanées formé en couplant ensemble les équations des courbes. Ici les courbes se rencontrent aux points donnés par la solution de \[\left\{ \begin{align} y &= 2x^2 + 2, \\ y &= -\frac{1}{2} x + 2 \quad\text{ou}\quad 2x^2 + 2 = -\frac{1}{2} x + 2; \end{align} \right.\]
c'est-à-dire, \[x(2x + \frac{1}{2}) = 0.\]
Cette équation a pour solutions \(x = 0\) et \(x = -\frac{1}{4}\) (voir la figure suivante). La pente de la courbe \(y = 2x^2 + 2\) en un point quelconque est \[\dfrac{dy}{dx} = 4x.\]
Pour le point où \(x = 0\), cette pente est nulle ; la courbe est horizontale. Pour le point où \[x = -\dfrac{1}{4},\quad \dfrac{dy}{dx} = -1;\] d'où la courbe à ce point descend vers la droite à un tel angle \(\theta\) avec l'horizontale que \(\tan \theta = 1\); c'est-à-dire, à \(45^\circ\) par rapport à l'horizontale.
La pente de la ligne droite est \(-\frac{1}{2}\); c'est-à-dire qu'elle descend vers la droite et fait avec l'horizontale un angle \(\phi\) tel que \(\tan \phi = \frac{1}{2}\); c'est-à-dire un angle de \(26^\circ~34'\). Il s'ensuit qu'au premier point la courbe coupe la ligne droite à un angle de \(26^\circ~34'\), tandis qu'au second elle la coupe à un angle de \(45^\circ - 26^\circ~34' = 18^\circ~26'\) (voir la figure suivante).
Exemple 10.5. Une ligne droite doit être tracée, à travers un point dont les coordonnées sont \(x = 2\), \(y = -1\), comme tangente à la courbe \(y = x^2 - 5x + 6\). Trouvez les coordonnées du point de contact.
Note.—-le point \((2,-1)\) ne se trouve pas sur la courbe \(y=x^2-5x+6\).
Solution. La pente de la tangente doit être la même que le \(\dfrac{dy}{dx}\) de la courbe; c'est-à-dire, \(2x - 5\).
L'équation de la ligne droite est \(y = ax + b\), et puisqu'elle est satisfaite pour les valeurs \(x = 2\), \(y = -1\), alors \(-1 = a\times2 + b\); aussi, son \(\dfrac{dy}{dx} = a = 2x - 5\) [puisque \(y=ax+b\) est la ligne tangentielle, sa pente, \(a\), doit être la même que \(\dfrac{d(x^2-5x+6)}{dx}\)].
Le \(x\) et le \(y\) du point de contact doivent également satisfaire à la fois l'équation de la tangente et l'équation de la courbe.
Nous avons alors \[\left\{\begin{align} y &= x^2 - 5x + 6, &&\text{(i)} \\ y &= ax + b, &&\text{(ii)} \\ -1 &= 2a + b, &&\text{(iii)} \\ a &= 2x - 5, &&\text{(iv)} \end{align}\right.\] quatre équations en \(a\), \(b\), \(x\), \(y\).
Les équations (i) et (ii) donnent \(x^2 - 5x + 6 = ax+b\).
En remplaçant \(a\) et \(b\) par leur valeur dans cela, nous obtenons \[x^2 - 5x + 6 = (2x - 5)x - 1 - 2(2x - 5),\] ce qui simplifie à \(x^2 - 4x + 3 = 0\), dont les solutions sont: \(x = 3\) et \(x = 1\). En remplaçant dans (i), nous obtenons \(y = 0\) et \(y = 2\) respectivement; les deux points de contact sont donc \(x = 1\), \(y = 2\), et \(x = 3\), \(y = 0\) (voir la figure suivante).
Note.—Dans tous les exercices qui traitent des courbes, les étudiants trouveront extrêmement instructif de vérifier les déductions obtenues en traçant effectivement les courbes.
Exercices
Exercice 10.1. Tracez la courbe \(y = \dfrac{3}{4} x^2 - 5\), en utilisant des échelles égales pour \(x\) et \(y\). Mesurez, aux points correspondant à différentes valeurs de \(x\), l'angle de sa pente.
Trouvez, en différenciant l'équation, l'expression de la pente ; et regardez, à partir d'une table de tangentes naturelles, si cela concorde avec l'angle mesuré.
Solution
\[y=\frac{3}{4} x^2 - 5 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x\]
Quand \(x=-3\), \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{9}{2}\)
à partir du graphique : pente de la ligne tangentielle \(=\dfrac{-9}{2}=-4.5\). Ils concordent.
Quand \(x=-2\), \(\dfrac{dy}{dx}=-3\)
à partir du graphique : pente de la ligne tangentielle \(=\dfrac{-6}{2}=-3\). Ils concordent.
Quand \(x=-1\), \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{2}\)
à partir du graphique : pente de la ligne tangentielle \(=\dfrac{-3}{2}=-1.5\). Ils concordent.
Quand \(x=0\), \(\dfrac{dy}{dx}=0\)
à partir du graphique : la ligne tangentielle est horizontale. Ainsi, sa pente est nulle. Ils concordent.
Quand \(x=1\), \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\)
à partir du graphique : pente de la ligne tangentielle \(=\dfrac{3}{2}=1.5\). Ils concordent.
Quand \(x=2\), \(\dfrac{dy}{dx}=3\)
à partir du graphique : pente de la ligne tangentielle \(=\dfrac{6}{2}=3\). Ils concordent.
Quand \(x=3\), \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9}{2}\)
à partir du graphique : pente de la ligne tangentielle \(=\dfrac{9}{2}=4.5\). Ils concordent.
Exercice 10.2. Trouvez quelle sera la pente de la courbe \[y = 0.12x^3 - 2,\] au point particulier où \(x=2\).
Réponse
\(1.44\).
Solution
\[\begin{align} & y=0.12 x^{3}-2 \\ & \frac{d y}{d x}=3 \times 0.12 x^{2}=0.36 x^{2} \end{align}\]
Quand \(x=2, \quad \dfrac{d y}{d x}=1.44\).
Donc, la pente de la courbe au point où \(x=2\) est \(1.44\).
Exercice 10.3. Si \(y = (x - a)(x - b)\), montrez qu'au point particulier de la courbe où \(\dfrac{dy}{dx} = 0\), \(x\) aura la valeur \(\frac{1}{2} (a + b)\).
Solution
\[y=(x-a)(x-b)\] En utilisant la règle du produit : \[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=(x-b)+(x-a)\\ &=2 x-a-b \end{align}\] En posant \(\dfrac{dy}{dx}=0\), nous obtenons \[x=\frac{a+b}{2}.\]
Exercice 10.4. Trouvez le \(\dfrac{dy}{dx}\) de l'équation \(y = x^3 + 3x\); et calculez les valeurs numériques de \(\dfrac{dy}{dx}\) pour les points correspondant à \(x = 0\), \(x = \frac{1}{2}\), \(x = 1\), \(x = 2\).
Réponse
\(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 3\); et les valeurs numériques sont : \(3\), \(3 \frac{3}{4}\), \(6\), et \(15\).
Solution
\[\begin{align} & y=x^{3}+3 x \\ & \frac{d y}{d x}=3 x^{2}+3 \end{align}\]
Quand \(x=0\), \(\dfrac{dy}{dx}=3\).
Quand \(x=0\), \(\dfrac{dy}{dx}=3+\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}=3.75\).
Quand \(x=1\), \(\dfrac{dy}{dx}=6\).
Quand \(x=2\), \(\dfrac{dy}{dx}=15\).
Exercice 10.5. Dans la courbe à laquelle l'équation est \(x^2 + y^2 = 4\), trouvez les valeurs de \(x\) aux points où la pente \({} = 1\).
Réponse
\(\pm \sqrt{2}\).
Solution
\[x^{2}+y^{2}=4\] Résolvant pour \(y\) : \[y= \pm \sqrt{4-x^{2}}= \pm\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\]
Pour trouver \(\dfrac{dy}{dx}\), posons \(u=4-x^{2}\). Alors \(y= \pm u^{\frac{1}{2}}\) et
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & = \pm \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}}(-2 x) \\ & = \pm \frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\mp \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} \\ \frac{d y}{d x} & =1 \Rightarrow \mp \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=1 \end{align}\]
Commençons par le signe \(-\) :
\[-x=\sqrt{4-x^{2}}\]
Nous devons avoir \(x \leq 0\) car le côté droit est non négatif.
\[\begin{align} & x^{2}=4-x^{2} \\ & 2 x^{2}=4 \\ & x= \pm \sqrt{2} \end{align}\] Seul \(x=-\sqrt{2}\) est acceptable.
Quand \(x=-\sqrt{2}\) :
\[y=+\sqrt{4-x^{2}}=+\sqrt{2}\]
Passons maintenant au signe \(+\) :
\[x=\sqrt{4-x^{2}}\] Nous devons avoir \(x \geq 0\) car le côté droit est toujours non négatif
\[\begin{align} x^{2} & =4-x^{2} \\ 2 x^{2} & =4 \\ x & = \pm \sqrt{2} \end{align}\] Seul \(x=+\sqrt{2}\) est acceptable.
Quand \(x=+\sqrt{2}\) : \[y=-\sqrt{4-x^{2}}=-\sqrt{2}\]
Par conséquent, aux deux points \((-\sqrt{2},+\sqrt{2})\) et \((+\sqrt{2},-\sqrt{2})\), la pente de la courbe est 1.
Exercice 10.6. Trouvez la pente, en tout point, de la courbe dont l'équation est \(\dfrac{x^2 }{3^2} + \dfrac{y^2}{2^2} = 1\); et donnez la valeur numérique de la pente au point où \(x = 0\), et là où \(x = 1\).
Réponse
\(\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{4}{9} \dfrac{x}{y}\). La pente est nulle où \(x = 0\); et est \(\mp \dfrac{1}{3 \sqrt{2}}\) où \(x = 1\).
Solution
\[\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\]
Méthode 1 : Usage de la règle de la chaîne
\[\begin{align} & \frac{d\left(\frac{x^{2}}{9}\right)}{d x}+\frac{d\left(\frac{y^{2}}{4}\right)}{d x}=1 \\ & \frac{1}{9} 2 x+\frac{1}{4} 2 y \cdot \frac{d y}{d x}=0 \\ \end{align}\] D'où \[\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{1}{9} x}{\frac{y}{4}}=-\frac{4}{9} \frac{x}{y}\] ou \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =-\frac{4}{9} \frac{x}{ \pm 2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}} \\ & =\mp \frac{2}{3} \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}} \end{align}\]
Méthode 2 : Nous pouvons atteindre le même résultat si nous résolvons \[\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\] pour \(y\). Soit
\[\begin{align} y & = \pm 2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} \\ & = \pm 2\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)^{\frac{1}{2}} \end{align}\]
Pour trouver \(\frac{d y}{d x}\), posons \(x=1-\frac{x^{2}}{9}\). Alors \(y= \pm 2 u^{\frac{1}{2}}\) et \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & = \pm \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}}\cdot(-2 x) \\ & = \pm \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=\mp \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \end{align}\]
Quand \(x=0, \quad \dfrac{d y}{d x}=0\)
Quand \(x=1, \quad \dfrac{d y}{d x}=\mp \dfrac{2}{3 \sqrt{8}}=\mp \dfrac{1}{3 \sqrt{2}}.\) Plus précisément, quand \(x=1\), si \(y>0\), alors \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\), et si \(y<0\), alors \(\dfrac{dy}{dx}=+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\).
Exercice 10.7. L'équation d'une tangente à la courbe \(y = 5 - 2x + 0.5x^3\), étant de la forme \(y = mx + n\), où \(m\) et \(n\) sont des constantes, trouvez la valeur de \(m\) et \(n\) si le point où la tangente touche la courbe a \(x=2\) pour abscisse.
Réponse
\(m = 4\), \(n = -3\).
Solution
\[y=5-2 x+0.5 x^{3}\]
\[\frac{d y}{d x}=-2+1.5 x^{2}\]
Quand \(x=2, \quad \frac{d y}{d x}=4\).
Quand \(x=2, \quad y=5\).
L'équation de la ligne avec pente 4 passant par \((2,5)\) est \[y-5=4(x-2)\] ou \[y=4 x-3\] Donc,
\[m=4 \quad \text { et }\quad n=-3\]
Exercice 10.8. À quel angle les deux courbes \[y = 3.5x^2 + 2 \quad \text{et} \quad y = x^2 - 5x + 9.5\] se coupent-elles?2
Réponse
Intersections à \(x = 1\), \(x = -3\). Angles \(153^\circ\;26'\), \(2^\circ\;28'\).
Solution
Tout d'abord, nous devons calculer, à quel point ces deux courbes se croisent :
Mettons les équations des deux courbes à égalité :
\[3.5 x^{2}+2=x^{2}-5 x+9.5\] \[\Rightarrow 2.5 x^{2}+5 x-7.5=0\] \[\begin{align} \Rightarrow \quad x&=\frac{-5 \pm \sqrt{25+4 \times 2.5 \times 7.5}}{5} \\ &=\frac{-5 \pm 10}{5} \end{align}\]
Par conséquent, ces deux courbes se croisent à \(x=-3\) et \(x=1\).
Maintenant, nous devons trouver les pentes de ces deux courbes à \(x=3\) et \(x=1\).
\[\begin{align} & y=3.5 x^{2}+2 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=7 x \\ & y=x^{2}-5 x+9.5 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x-5 \end{align}\]
Quand \(x=-3\), la pente de la première courbe est \(-21\) et la pente de la seconde courbe est \(-11\).
C'est-à-dire que \(\tan \alpha=-21\) et \(\tan \beta=-11\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont les angles que leurs tangentes font avec la direction positive de l'\(x\)-axe.
\[\begin{gathered} \tan \alpha=-21 \Rightarrow \alpha=\arctan (-21) \approx-1.52 ~\mathrm{rad} \\ \text { ou }\quad \alpha \approx-87.27^{\circ} \\ \tan \beta=-11 \Rightarrow \beta=\arctan (-11) \approx-1.48~ \mathrm{rad}\\ \text { ou }\quad \beta \approx-84.81^{\circ} \end{gathered}\] Par conséquent, l'angle entre eux quand \(x=3\) est \(87.27-84.81=2.47^{\circ}\) ou
\[\text { angle }=2^{\circ}+0.47 \times 60^{\prime} \approx 2^{\circ} 28^{\prime}\]
De même, quand \(x=1\), la pente de la première courbe est \(7\). \[\tan \alpha=7 \Rightarrow \alpha=\arctan 7 \approx 1.429~\mathrm{rad}\] ou \[\alpha \approx 81.87^\circ\]
La pente de la seconde courbe est \(-3\). \[\tan \beta=-3 \Rightarrow \beta=\arctan (-3) \approx-1.249~\mathrm{rad}\] ou \[\beta \approx-71.57^{\circ}\] Par conséquent, l'angle entre eux quand \(x=1\) est \(81.87+71.57=153.44\) ou \[\text { angle }=153^{\circ}+0.44 \times 60^{\prime} \approx 153^{\circ} 26^{\prime}\]
Exercice 10.9. Des tangentes à la courbe \(y = \pm \sqrt{25-x^2}\) sont tirées aux points pour lesquels \(x = 3\) et \(x = 4\). Trouvez les coordonnées du point d'intersection des tangentes et leur inclinaison mutuelle.
Réponse
Intersection à \(x =\frac{25}{7}\approx 3.57\), \(y=\frac{25}{7}\approx 3.57\). Angle \(16^\circ\;16'\).
Solution
Considérons \(y>0\). Le cas où \(y<0\) peut ensuite être obtenu par symétrie. \[\begin{align} y & =+\sqrt{25-x^{2}} \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{-2 x}{2 \sqrt{25-x^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}} \end{align}\]
Quand \(x=3, \quad \dfrac{d y}{d x}=\frac{-3}{4}\).
Quand \(x=3,\quad y=4\).
L'équation de la ligne tangentielle à \(x=3\) et \(y>0\) est alors \[y-4=-\frac{3}{4}(x-3)\] ou \[y=-\frac{3}{4} x+\frac{25}{4}\]
Quand \(x=4,\quad \dfrac{d y}{d x}=-\frac{4}{3}\).
Quand \(x=4,\quad y=3\).
L'équation de la ligne tangente est
\[y-3=-\frac{4}{3}(x-4)\] ou \[y=-\frac{4}{3} x+\frac{25}{3}\]
Pour trouver l'intersection des lignes tangentes à \(x=3\) et \(x=4\) (pour \(y>0\)), nous mettons les équations de ces deux lignes tangentes à égalité :
\[\begin{align} -\frac{3}{4} x+\frac{25}{4} & =-\frac{4}{3} x+\frac{25}{3} \\ \Rightarrow\ \frac{7}{12} x & =\frac{25}{12} \\ \Rightarrow\ x & =\frac{25}{7} \approx 3.57 \end{align}\]
Quand \(x=\frac{25}{7}, y=-\frac{3}{4} \times \frac{25}{7}+\frac{25}{4}=\frac{25}{7} \approx 3.57\). Par conséquent, ces deux lignes tangentes se croisent au point \((\frac{25}{7},\frac{25}{7})\approx (3.57,