Dérivées d'ordre supérieur
Essayons l'effet de répéter plusieurs fois l'opération de différenciation d'une fonction (voir le concept d'une fonction). Commençons par un cas concret.
Soit \(y = x^5\). \[\begin{align} &\text{Première différenciation, } &&5x^4. && \\ &\text{Deuxième différenciation, } &&5 \times 4x^3 &&= 20x^3. \\ &\text{Troisième différenciation, } &&5 \times 4 \times 3x^2 &&= 60x^2. \\ &\text{Quatrième différenciation, } &&5 \times 4 \times 3 \times 2x &&= 120x. \\ &\text{Cinquième différenciation, } &&5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 &&= 120. \\ &\text{Sixième différenciation, } && &&= 0. \end{align}\]
Il existe une certaine notation, avec laquelle nous sommes déjà familiers, utilisée par certains auteurs, qui est très pratique. Il s'agit d'employer le symbole général \(f(x)\) pour toute fonction de \(x\). Ici, le symbole \(f(~)\) est lu comme “fonction de,” sans préciser quelle fonction particulière est indiquée. Ainsi, l'énoncé \(y=f(x)\) nous dit simplement que \(y\) est une fonction de \(x\), cela peut être \(x^2\) ou \(ax^n\), ou \(\cos x\) ou toute autre fonction complexe de \(x\).
Le symbole correspondant pour la dérivée est \(f^{\prime}(x)\), qui est plus simple à écrire que \(\dfrac{dy}{dx}\). Cela s'appelle la dérivée de \(\boldsymbol{y}\) par rapport à \(\boldsymbol{x}\), la dérivée de la fonction \(\boldsymbol{f}\), ou simplement la fonction dérivée. Au lieu de \(\dfrac{dy}{dx}\) ou \(f^\prime(x)\), nous écrivons parfois simplement \(y^\prime\).
Supposons que nous différencions à nouveau, nous obtiendrons la seconde dérivée de \(\boldsymbol{f}\) ou la seconde dérivée de \(\boldsymbol{y}\) par rapport à \(\boldsymbol{x}\), qui est notée \(f^{\prime\prime}(x)\) ou \(y^{\prime\prime}\); et ainsi de suite.
Généralisons maintenant.
Soit \(y = f(x) = x^n\). \[\begin{align} &\text{Première différenciation,} &&y^\prime=f^\prime(x) = nx^{n-1}. \\ &\text{Deuxième différenciation,} &&y^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(x) = n(n-1)x^{n-2}. \\ &\text{Troisième différenciation,} &&y^{\prime\prime\prime}=f^{\prime\prime\prime}(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ &\text{Quatrième différenciation,} &&y^{\prime\prime\prime\prime}=f^{\prime\prime\prime\prime}(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ &&\vdots \end{align}\]
En général, après avoir dérivé la fonction originale \(n\) fois, nous obtenons la \(n\)-ième dérivée de \(f\) ou \(y\) par rapport à \(x\), également connue sous le nom de dérivée d'ordre \(n\). Quand l'ordre de la différenciation atteint quatre ou plus, plutôt que d'utiliser continuellement des accents (également appelés primes), une approche plus rationalisée est souvent adoptée. L'ordre de différentiation est indiqué à l'aide de parenthèses, avec l'ordre de la dérivée présenté en exposant de \(f\) ou \(y\). Cette notation est non seulement plus claire, mais elle aide aussi à réduire le risque d'erreur dans le comptage du nombre de primes. Par exemple, nous écrivons souvent \(y^{(4)}\) ou \(f^{(4)}(x)\) au lieu de \(y^{\prime\prime\prime\prime}\) et \(f^{\prime\prime\prime\prime}(x)\).
Il existe une autre façon d'indiquer les différenciations successives. Pour, \[\begin{align} &\text{si la fonction originale est } &&y = f(x); \\ &\text{une fois differentié donne } &&\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x); \\ &\text{deux fois différencié donne } &&\frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} = f^{\prime\prime}(x); \end{align}\] et cela s'écrit plus commodément comme \(\dfrac{d^2y}{(dx)^2}\), ou plus habituellement \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\). De manière similaire, nous pouvons écrire comme résultat de la dérivation trois fois, \(\dfrac{d^3y}{dx^3} = f^{\prime\prime\prime}(x)\).
Comment lire les symboles pour les dérivées
| \(f^\prime(x)\) | eff prime de eks |
| \(f^{\prime\prime} (x)\) | eff double prime de eks |
| \(f^{\prime\prime\prime}(x)\) | eff triple prime de eks |
| \(f^{(n)}(x)\) | eff super en de eks (ou la en-ième dérivée de eff de eks) |
| \(y^\prime\) | wy prime |
| \(y^{\prime\prime}\) | wy double prime |
| \(y^{\prime\prime\prime}\) | wy triple prime |
| \(y^{(n)}\) | wy super en (ou la en-ième dérivée de wy) |
| \(\dfrac{dy}{dx}\) | dee wy sur dee eks |
| \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\) | dee carré wy sur dee eks carré |
Exemples
Essayons maintenant \(y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2\). \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= f^{\prime}(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f^{\prime\prime}(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f^{\prime\prime\prime}(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f^{(4)}(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f^{(5)}(x) = 0. \end{align}\]
De manière similaire si \(y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)\), \[\begin{align} \phi^\prime(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x \times 2x + (x^2 - 4) \times 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi^{\prime\prime}(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 \times 6x = 18x, \\ \phi^{\prime\prime\prime}(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi^{(4)}(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align}\]
Exercices
Trouvez \(\dfrac{dy}{dx}\) et \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) pour les expressions suivantes :
Exercice 7.1. \(y = 17x + 12x^2\).
Réponse
\(17 + 24x\);\(24\).
Solution
\[\begin{align} & y=17 x+12 x^{2} \\ & \frac{d y}{d x}=17+24 x \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=24 \end{align}\]
Exercice 7.2. \(y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}\).
Réponse
\(\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2}\);\(\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}\).
Solution
\[y=\frac{x^{2}+a}{x+a}\] En utilisant la règle du quotient
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{2 x(x+a)-\left(x^{2}+a\right)}{(x+a)^{2}} \\ & =\frac{x^{2}+2 a x-a}{(x+a)^{2}} \end{align}\]
Pour trouver \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\), nous utilisons à nouveau la règle du quotient.
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}&=\frac{(2 x+2 a)(x+a)^{2}-\frac{d\left(x^{2}+2 a x+a\right)^{2}}{d x}\left(x^{2}+2 a x-a\right)}{(x+a)^{4}}\\ & =\frac{2(x+a)^{3}-(2 x+2 a)\left(x^{2}+2 a x-a\right)}{(x+a)^{4}} \\ & =\frac{2(x+a)\left[(x+a)^{2}-\left(x^{2}+2 a x-a\right)\right]}{(x+a)^{4}}\\ & =\frac{2\left[x^{2}+2 a x+a^{2}-x^{2}-2 a x+a\right]}{(x+a)^{3}} \\ & =\frac{2\left(a^{2}+a\right)}{(x+a)^{3}} \\ & =\frac{2 a(a+1)}{(x+a)^{3}} \end{align}\]
Exercice 7.3. \(y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1\times2} + \dfrac{x^3}{1\times2\times3} + \dfrac{x^4}{1\times2\times3\times4}\).
Réponse
\(1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3}\);\(1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2}\).
Solution
\[\begin{align} y & =1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\frac{x^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4}. \\ \frac{d y}{d x} & =1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}. \\ \frac{d^{2} y}{d x} & =1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}. \end{align}\]
Exercice 7.4. Trouvez les 2ème et 3ème dérivées dans les exercices du Chapitre 6, No. 1 à No. 7 :
Expressions :
- Premier exercice :
- \(u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb\).
- \(y = ax^2 + bx + c\).
- \(y = (x + a)^2\).
- \(y = (x + a)^3\).
- \(w = at - \frac{1}{2}bt^2\).
- \(y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}).\)
- \(y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3).\)
- \(x = (y + 3) \times (y + 5)\).
- \(y = 1.3709x \times (112.6 + 45.202x^2)\).
- \(y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}\).
et dans l'Exemple 6.4 à l'Exemple 6.10 :
Exemple 6.4 : \(y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}\).
Exemple 6.5 : \(y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}\)
Exemple 6.6 : \(z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27\).
Exemple 6.7 : \(v = (3 t^2 - 1.2 t + 1)^3\)
Exemple 6.8 : \(y = (2x - 3)(x + 1)^2\).
Exemple 6.9 : \(y = 0.5 x^3(x-3)\).
Exemple 6.10 : \(w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)\).
Réponse
(Exercices du Chapitre 6) :
(1) \(\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots\).
(2) \(2a\), \(0\).
(3) \(2\), \(0\).
(4) \(6x + 6a\), \(6\).
\(-b\), \(0\).
\(2\), \(0\).
\(\begin{gathered}[t] 56440x^3 - 196212x^2 - 4488x + 8192. \\ 169320x^2 - 392424x - 4488. \end{gathered}\)
\(2\), \(0\).
\(371.80453x\), \(371.80453\).
\(\dfrac{30}{(3x + 2)^3}\),\(-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}\).
Exemple 6.4 : \(\dfrac{6a}{b^2} x\),\(\dfrac{6a}{b^2}\).
Exemple 6.5 : \(\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}\), \(\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}\).
Exemple 6.6 : \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}\), \(\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}\).
Exemple 6.7 : \(810t^4 - 648t^3 + 479.52t^2 - 139.968t + 26.64.\), \(3240t^3 - 1944t^2 + 959.04t - 139.968.\)
Exemple 6.8 : \(12x + 2\), \(12\).
Exemple 6.9 : \(6x^2 - 9x\),\(12x - 9\).
Exemple 6.10 : \[\begin{align} &\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) +\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\ &\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right) -\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right). \end{align}\]
Solution
(1)
(a) Nous avons appris que
\[\frac{d u}{d x}=u\]
Donc,
\[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{d\left(\frac{d u}{d x}\right)}{d x}=\frac{d u}{d x}=u\]
et
\[\frac{d^{3} u}{d x^{3}}=\frac{d\left(\frac{d^{2} u}{d x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d u}{d x}=u .\]
(b) Puisque \[\frac{d y}{d x}=2 a x+b\] alors \[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 a \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}\]
(c) Puisque \(\frac{d y}{d x}=2(x+a)=2 x+2 a\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}\]
(d) Puisque
\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=3(x+a)^{2}=3\left(x^{2}+2 a x+a^{2}\right) \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+6 a=6(x+a) \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=6 \end{align}\]
(2) Puisque \(\frac{d w}{d t}=a-b t\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} w}{d t^{2}}=-b \\ & \frac{d^{3} w}{d t^{3}}=0 \end{align}\]
(3) Puisque \[\frac{d y}{d x}=2 x,\] \[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 \quad \text { et } \quad \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}\]
(4) Puisque \(\frac{d y}{d x}=14110 x^{4}-65404 x^{3}-22404 x^{2}+8192 x+1379\),
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =56440 x^{3}-196212 x^{2}-44808 x+8192 \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & =3 \times 56440 x^{2}-2 \times 196212 x-44808 \\ & =169320 x^{2}-392424 x-44808 \end{align}\]
(5) Puisque \(\frac{d x}{d y}=2 y+5\)
\[ \frac{d^2 x}{d y^{2}}=2 \quad \text { et }\quad \frac{d^{3} x}{d y^{3}}=0 \]
(6) Puisque \(\dfrac{d y}{d x}=185.9022654 x^2+154.36334\)
\[\begin{align} & \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \times 185.9022654 x=371.8045308 x \\ & \frac{d^3 y}{d x^3}=371.8045308 \end{align}\]
(7) Puisque \(\dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{5}{(3 x+2)^{2}}\), \[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{0 \times(3 x+2)^{2}-5 \frac{d\left[(3 x+2)^{2}\right]}{d x}}{(3 x+2)^{4}} \\ & =\frac{5 \frac{d\left[9 x^{2}+12 x+4\right]}{d x}}{(3 x+2)^{4}} \\ & =\frac{5(18 x+12)}{(3 x+2)^{4}} \\ & =\frac{30(3 x+2)}{(3 x+2)^{6}} \\ & =\frac{30}{(3 x+2)^{3}} \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & =\frac{-30 \frac{d\left[(3 x+2)^{3}\right]}{d x}}{(3 x+2)^{6}} \\ & =-\frac{30 \frac{d\left(27 x^{3}+54 x^{2}+36 x+8\right)}{d x}}{(3 x+2)^{6}} \\ & =\frac{30\left(81 x^{2}+108 x+36\right)}{(3 x+2)^{6}} \end{align}\]
\[\begin{align} & =\frac{30 \times 9\left(9 x^{2}+12 x+4\right)}{(3 x+2)^{6}} \\ & =\frac{270(3 x+2)^{2}}{(3 x+2)^{6}} \\ & =\frac{270}{(3 x+2)^{5}} \end{align}\]
Exemple 19. Since \(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3 a}{b^{2}} x^{2}-\dfrac{a^{2}}{b}\)
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{6 a}{b^{2}} x \text { and } \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{6 a}{b^{2}}\]
Exemple 20. Since \(\dfrac{d y}{d x}=3 a \sqrt{b x}+\dfrac{3 b \sqrt[3]{a}}{x^{2}}\). On peut le réécrire comme \[\frac{d y}{d x}=3 a \sqrt{b} x^{\frac{1}{2}}+3 b \sqrt[3]{a} x^{-2}\] Donc\[\begin{align} \frac{d^2 y}{d x^2} & =\frac{1}{2} 3 a \sqrt{b} x^{-\frac{1}{2}}-6 b \sqrt[3]{a} x^{-3} \\ & =\frac{3}{2} a \sqrt{\frac{b}{x}}-\frac{6 b \sqrt[3]{a}}{x^3} \end{align}\] et
\[\begin{align} \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & =-\frac{1}{4} 3 a \sqrt{b} x^{-\frac{3}{2}}+18 b \sqrt[3]{a} x^{-4} \\ & =-\frac{3 a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^{3}}}+\frac{18 b \sqrt[4]{a}}{x^{4}} \end{align}\]
Exemple 21. Since \(\dfrac{d z}{d \theta}=-1.2 \theta^{-\frac{5}{3}}+0.88 \theta^{-\frac{6}{5}}\)
\[\begin{align} \frac{d^{2} z}{d \theta^{2}} & =2 \theta^{-\frac{8}{3}}-1.056 \theta^{-\frac{11}{5}} \\ & =\frac{2}{\sqrt[3]{\theta^{8}}}-\frac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}} \\ \frac{d^{3} z}{d \theta^{3}} & =-\frac{16}{3} \theta^{-\frac{11}{3}}+2.3232 \theta^{-\frac{16}{5}} \\ & =-\frac{16}{\sqrt[3]{\theta^{11}}}+\frac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} \end{align}\]
Exemple 22. Since \(\dfrac{d v}{d t}=162 t^{5}-162 t^{4}+159.84 t^{3}-69.984 t^{2}+26.64 t\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} v}{d t^{2}}=810 t^{4}-648 t^{3}+479.52 t^{2}-139.968 t+26.64 \\ & \frac{d^{3} v}{d t^{3}}=3240 t^{3}-1944 t^{2}+959.04 t-139.968 \end{align}\]
Exemple 23. Since \(\frac{d y}{d x}=2(x+1)(3 x-2)\)
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2(3 x-2)+6(x+1)=12 x+2\]
\[\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=12\]
Exemple 24. Since \(\frac{d y}{d x}=2 x^{3}-4.5 x^{2}\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x^{2}-9 x \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=12 x-9 \end{align}\]
Exemple 25. Since \(\dfrac{d \omega}{d \theta}=\frac{3}{2}\left(\sqrt{\theta}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right)\), on peut le réécrire comme
\[\frac{d w}{d \theta}=\frac{3}{2}\left(\theta^{\frac{1}{2}}-\theta^{-\frac{5}{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\theta^{-\frac{1}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right)\] Donc
\[\begin{align} \frac{d^{2} w}{d \theta^{2}} & =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2} \theta^{-\frac{1}{2}}+\frac{5}{2} \theta^{-\frac{7}{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} \theta^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{2} \theta^{-\frac{5}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{4} \theta^{-\frac{1}{2}}+\frac{15}{4} \theta^{-\frac{7}{2}}-\frac{1}{4} \theta^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{4} \theta^{-\frac{5}{2}} \\ & =\frac{3}{4}\left(\theta^{-\frac{1}{2}}+\theta^{-\frac{5}{2}}\right)+\frac{1}{4}\left(15 \theta^{-\frac{7}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}+\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\sqrt{\theta^{7}}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right) \end{align}\]
\[\begin{align} \frac{d^{3} w}{d \theta^{3}} & =\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2} \theta^{\frac{2}{2}}-\frac{5}{2} \theta^{2}\right)+\frac{1}{4}\left(-\frac{105}{2} \theta^{-\frac{2}{2}}+\frac{3}{2} \theta^{-\frac{1}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{8}\left(\theta^{-\frac{5}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right)-\frac{15}{8}\left(7 \theta^{-\frac{9}{2}}+\theta^{-\frac{7}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right)-\frac{15}{8}\left(\frac{7}{\sqrt{\theta^{9}}}+\frac{1}{\sqrt{\theta^{7}}}\right) \end{align}\]