Valeur absolue et distance

Valeur absolue

Il est souvent souhaitable de mesurer la grandeur d'une quantité, quel que soit son signe. Dans de tels cas, nous utilisons simplement la valeur absolue de la quantité.

Définition 1.

La valeur absolue (ou module) d'un nombre réel x , est un nombre réel non négatif noté | x | , et défini comme suit
  • Géométriquement, la valeur absolue d'un nombre x est sa distance par rapport à 0, quelle que soit la direction.
Exemple 1.

Trouvez | 2 | , | − 2 | , | 0 | , | 3 − 3 | , | 3 − 3 |

Solution Puisque 2 , 0 , 3 − 3 sont non négatifs [ 3 ≈ 1.73 , donc 3 − 3 ≈ 1.27 ], nous avons | 2 | = 2 ,   | 0 | = 0 ,   | 3 − 3 | = 3 − 3 mais − 2 et 3 − 3 sont négatifs, nous avons donc | − 2 | = − ( − 2 ) = 2 , | 3 − 3 | = − ( 3 − 3 ) = 3 − 3 .
  • Dans les langages informatiques et les logiciels mathématiques, la valeur absolue de x est souvent notée par abs(x).
  • Nous avons par définition : − | x | ≤ x ≤ | x | car si x > 0 , alors | x | = x et nous avons le signe d'égalité à droite et le signe d'inégalité à gauche (un nombre positif est plus grand qu'un nombre négatif). Si x < 0 , alors | x | = − x , et nous avons le signe d'égalité à gauche et le signe d'inégalité à droite.

[Notez que a ≤ b signifie a < b ou a = b ]

De la définition ci-dessus, il s'ensuit que pour tous nombres réels a et b , nous avons :

  1. | a | ≥ 0
  2. | a | = 0 si et seulement si a = 0
  3. | | a | | = | a | (car | a | ≥ 0 )
  4. | − a | = | a | .
  5. | a b | = | a |   | b | .
  6. | a b | = | a | | b | (si b ≠ 0 )
  7. Si r > 0
Interprétation géométrique Soit r > 0 et | x | ≤ r . La relation ci-dessus implique que x est plus proche de 0 que r , et vous pouvez voir sur la figure suivante que cela est possible si et seulement si x se situe entre − r et r : − r ≤ x ≤ r .
Number line showing that |x| ≤ r means x lies between −r and r, with the interval [−r, r] highlighted and |x| marked as the distance from 0 to x.
Interprétation géométrique de |x| ≤ r : la valeur x se situe à une distance r de l'origine, c'est-à-dire −r ≤ x ≤ r.
Vous pouvez montrer la signification des deux autres énoncés géométriquement.
  1. | a + b | ≤ | a | + | b | (connue sous le nom d'inégalité triangulaire)
  • Si a et b sont soit tous deux positifs, tous deux négatifs, ou si au moins l'un d'entre eux est nul, alors | a + b | = | a | + | b | . Sinon, quand a et b ont des signes opposés, | a + b | < | a | + | b | .
Démonstration de l'inégalité triangulaire Nous savons que − | a | ≤ a ≤ | a | et − | b | ≤ b ≤ | b | . En additionnant les deux inégalités, nous obtenons − ( | a | + | b | ) ≤ a + b ≤ | a | + | b | . Soit c = | a | + | b | et x = a + b . Puisque − c ≤ x ≤ c , il s'ensuit de (1) que | x | ≤ c ou | x | = | a + b | ≤ | a | + | b | . C'est ce que nous essayions de prouver. ◻
Exemple 2.

Montrez que

| a | − | b | ≤ | a + b | ≤ | a | + | b | .
Solution Ce résultat découle de l'inégalité triangulaire et du fait que | − b | = | b | (Propriété 4). En utilisant l'inégalité triangulaire, nous avons : | a | = | ( a + b ) − b | ≤ | a + b | + | − b | = | a + b | + | b | . En soustrayant | b | des deux côtés de l'inégalité, nous obtenons : | a | − | b | ≤ | a + b | . En combinant l'inégalité ci-dessus avec l'inégalité triangulaire standard | a + b | ≤ | a | + | b | , nous concluons que : | a | − | b | ≤ | a + b | ≤ | a | + | b | .
Exemple 3.

Prouvez que pour tous nombres réels a et b , nous avons

| a − b | ≤ | a | + | b |
Solution Cela découle directement de l'inégalité triangulaire et du fait que | − b | = | b | . En appliquant l'inégalité triangulaire à a + ( − b ) , nous obtenons : | a − b | = | a + ( − b ) | ≤ | a | + | − b | = | a | + | b | . Ainsi, | a − b | ≤ | a | + | b | est vrai pour tous les nombres réels a et b .
Exemple 4.

Prouvez que pour tous les nombres réels a et b ,

| a | − | b | ≤ | a − b | .
Solution Nous commençons par ajouter et soustraire b , puis nous appliquons l'inégalité triangulaire. Plus précisément : | a | = | ( a − b ) + b | ≤ | a − b | + | b | . Soustraire | b | des deux côtés donne : | a | − | b | ≤ | a − b | . Ainsi, l'inégalité | a | − | b | ≤ | a − b | est vraie pour tous les nombres réels a et b .

Il s'ensuit de (4) que

  1. | a − b | = | b − a |

Distance entre deux points sur la droite réelle

Regardez la figure suivante. La distance entre − 2 et $10$ est de