Rationalisation d'un dénominateur ou d'un numérateur

Rendre rationnel un dénominateur ou un numérateur

Les binômes de la forme A + B et A − B sont appelés conjugués l'un de l'autre. Par exemple,

2 + 5 and 2 − 5 ,

ou

3 x + 5 + 2 x + 7 and 3 x + 5 − 2 x + 7

sont des conjugués l'un de l'autre. Parce que les conjugués sont la somme et la différence des deux mêmes termes, leur produit est la différence des carrés de ces termes (voir Section : Formules de produits remarquables) ; c'est-à-dire,

( A − B ) ( A + B ) = ( A ) 2 − ( B ) 2 = A − B .

Référence rapide

Forme du dénominateur Multiplier par Résultat
A ± B A ∓ B A − B
C A ± D B C A ∓ D B C 2 A − D 2 B
A 3 + B 3 A 2 3 − A B 3 + B 2 3 A + B
A 3 − B 3 A 2 3 + A B 3 + B 2 3 A − B

  • Remarquez que C A − D B et C A + D B sont des conjugués l'un de l'autre.
  • Si le dénominateur d'une fraction est de la forme A − B (ou C A − D B ), nous pouvons rendre le dénominateur rationnel en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué A + B (ou C A + D B ). Par exemple,

De même :

  • Si le dénominateur d'une fraction est A 3 + B 3 , nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction par A 2 3 − A B 3 + B 2 3 et utilisons la formule de la somme de cubes pour obtenir un dénominateur de A + B . (Voir Section : Formules de produits remarquables pour les formules de produits remarquables).
  • Si le dénominateur d'une fraction est A 3 − B 3 , nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction par A 2 3 + A B 3 + B 2 3 et utilisons la formule de la différence de cubes pour obtenir un dénominateur de A − B . (Voir Section : Formules de produits remarquables pour les formules de produits remarquables). Par exemple :

Exemple 1. Éliminez les racines carrées au dénominateur :

1 x + 3 + x − 2
Solution Nous multiplions le haut et le bas par x + 3 − x − 2 , et utilisons ( A − B ) ( A + B ) = A 2 − B 2 avec A = x + 3 et B = x − 2 :

Parfois, nous devons rendre rationnel le numérateur. Ce processus est similaire à celui consistant à rendre rationnel le dénominateur.

Exemple 2. Rendez rationnel le numérateur de 9 + h − 3 h .

Solution Pour rendre rationnel le numérateur, nous multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur, 9 + h − 3 , qui est 9 + h + 3 :

Foire aux questions

Que signifie rendre rationnel un dénominateur ? Rendre rationnel un dénominateur signifie réécrire une fraction de manière à ce que le dénominateur ne contienne plus de radicaux. Cela se fait en multipliant le numérateur et le dénominateur par une expression appropriée (généralement le conjugué) qui élimine le radical du dénominateur sans changer la valeur de la fraction.

Que sont les conjugués ? Deux binômes sont des conjugués l'un de l'autre s'ils ont la forme A + B et A − B , c'est-à-dire qu'ils sont identiques à l'exception du signe entre les deux termes radicaux. Leur produit ( A + B ) ( A − B ) = A − B ne contient aucun radical. Plus généralement, C A + D B et C A − D B sont des conjugués.

Pourquoi rendons-nous les dénominateurs rationnels ? Les formes rationalisées sont plus faciles à comparer, à simplifier et à évaluer numériquement. En calcul différentiel et intégral, rendre rationnel le numérateur d'un quotient différentiel (comme dans l'exemple 2) est une technique standard pour calculer des limites où la substitution directe donne 0 0 .

Comment rendre rationnel un dénominateur avec une racine cubique ? Pour un dénominateur de la forme A 3 − B 3 , multipliez le numérateur et le dénominateur par A 2 3 + A B 3 + B 2 3 et appliquez la formule de la différence de cubes $A^{3}-B^{3}=(A-B)(A^{