Ordre des opérations

En mathématiques, les opérations font référence à des actions telles que l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'exponentiation. Une même expression peut produire des résultats différents selon l'ordre dans lequel ces opérations sont effectuées. L'ordre des opérations est un ensemble de conventions qui spécifie un ordre d'évaluation unique et non ambigu, garantissant que chaque mathématicien et chaque calculatrice lit une expression de la même manière.

Référence rapide : les règles

Priorité Opération Notes

1. Parenthèses (crochets) Les plus intérieures d'abord
2. Exponentiation De droite à gauche pour les puissances empilées
3. Multiplication et division De gauche à droite, priorité égale
4. Addition et soustraction De gauche à droite, priorité égale

Les quatre règles (PEMDAS)

L'ordre des opérations est résumé par l'acronyme mnémonique PEMDAS :

Une phrase mnémotechnique courante est « Please Excuse My Dear Aunt Sally. » Les quatre niveaux, par ordre de priorité, sont expliqués ci-dessous.

Règle 1 : Parenthèses

Évaluez d'abord toutes les expressions à l'intérieur des symboles de groupement, en commençant par le groupe le plus interne et en allant vers l'extérieur. Les symboles de groupement sont le mécanisme de priorité absolue : ils l'emportent toujours, quelle que soit la règle.

Le P de PEMDAS signifie parenthèses ( ), mais la même règle s'applique aux trois types de symboles de groupement :

Symbole Nom Utilisation typique ( ) Parenthèses Groupement principal [ ] Crochets (crochets carrés) Groupement à l'intérieur des parenthèses pour améliorer la lisibilité { } Accolades Groupement le plus externe lorsque les crochets sont déjà utilisés

Lorsque les expressions sont imbriquées, la convention dans les manuels et l'écriture manuscrite est d'alterner les symboles de l'intérieur vers l'extérieur (parenthèses au centre, puis crochets, puis accolades) afin que l'œil puisse facilement associer chaque symbole d'ouverture à son partenaire de fermeture :

$$\{2\times [3+(4-1)]\}÷3=\{2\times [3+3]\}÷3=\{2\times 6\}÷3=12÷3=4.$$

Mathématiquement, les trois symboles signifient exactement la même chose : évaluer d'abord l'expression incluse. L'alternance est une convention de lisibilité, pas une règle qui modifie la priorité.

Un exemple simple sans imbrication :

$$2\times (3+4)=2\times 7=14,(2\times 3)+4=10.$$

Règle 2 : Exponentiation

Appliquez les exposants (puissances et racines) avant la multiplication, la division, l'addition ou la soustraction.

$$2+3^2=2+9=11,\text{not}(2+3{)}^2=25.$$

Règle 3 : Multiplication et division (de gauche à droite)

La multiplication et la division ont une priorité égale et sont évaluées strictement de gauche à droite.

$$12÷4\times 3=(12÷4)\times 3=3\times 3=9,\text{not}12÷(4\times 3)=1.$$

Règle 4 : Addition et soustraction (de gauche à droite)

L'addition et la soustraction ont une priorité égale et sont évaluées strictement de gauche à droite.

$$7-3+2=(7-3)+2=4+2=6,\text{not}7-(3+2)=2.$$

Pourquoi cet ordre ? La motivation derrière les règles

L'ordre des opérations est une convention, pas une loi mathématique, mais elle est bien motivée. Chaque niveau de priorité reflète la manière dont la notation algébrique regroupe naturellement les quantités.

Pourquoi la multiplication avant l'addition ? En algèbre, écrire $2x+3$ signifie $(2\cdot x)+3$, jamais $2\cdot (x+3)$. Le produit $2x$ est une entité unique (un terme), et les termes sont additionnés pour former une expression. Cette intuition, ancrée dans la notation algébrique depuis le XVIIe siècle, est la raison pour laquelle la multiplication lie plus étroitement que l'addition.

Pourquoi l'exponentiation avant la multiplication ? De même, $2x^2$ signifie $2\cdot (x^2)$, pas $(2x{)}^2$. L'exposant appartient à la base située immédiatement en dessous. Si la multiplication avait une priorité plus élevée que l'exponentiation, la notation polynomiale standard serait illisible.

Pourquoi de gauche à droite pour les opérations de priorité égale ? C'est une pure convention, cohérente avec le sens de lecture de gauche à droite de la langue écrite. Elle résout l'ambiguïté lorsque deux opérations de force égale apparaissent à la suite.

Note historique. Les règles ont été progressivement formalisées entre le XVIe et le XIXe siècle au fur et à mesure du développement de la notation algébrique. La convention selon laquelle la multiplication précède l'addition était implicite dans les notations de Leibniz et d'Euler. Le terme explicite « ordre des opérations » et les acronymes mnémotechniques scolaires (PEMDAS, BODMAS) ont été largement codifiés par les auteurs de manuels à la fin du XIXe siècle, avec la généralisation des manuels de mathématiques imprimés en masse.

Exemples concrets

Pourquoi les acronymes mnémotechniques peuvent induire en erreur

Les acronymes mnémotechniques sont des aides à la mémoire utiles, mais ils occultent deux faits critiques qui ne sont pas explicités par les lettres elles-mêmes.

Piège 1 : M et D sont égaux, pas séquentiels. Parce que le « M » apparaît avant le « D » dans PEMDAS, de nombreux élèves concluent que la multiplication est toujours effectuée avant la division. C'est faux. La multiplication et la division partagent le même niveau de priorité et sont évaluées de gauche à droite. Appliquer la multiplication en premier donne des résultats incorrects :

$$6÷2\times 3\stackrel{\text{wrong}}{=}6÷6=16÷2\times 3\stackrel{\text{correct}}{=}(6÷2)\times 3=9.$$

Piège 2 : A et S sont égaux, pas séquentiels. De même, « A » avant « S » ne signifie pas que l'addition est toujours effectuée en premier. L'addition et la soustraction partagent une priorité égale et s'effectuent de gauche à droite :

$$2-3+4\stackrel{\text{wrong}}{=}2-(3+4)=2-7=-52-3+4\stackrel{\text{correct}}{=}(2-3)+4=-1+4=3.$$

Comprendre la structure à deux niveaux (la multiplication et la division ensemble au niveau 3 ; l'addition et la soustraction ensemble au niveau 4) importe bien plus que de se souvenir des lettres.

Cas particuliers et exceptions

Exponentiation empilée (de droite à gauche)

Lorsque les exposants sont écrits sous forme de tour (exposants empilés), la convention est d'évaluer de haut en bas, c'est-à-dire de droite à gauche :

$$a^{b^c}=a^{\left(b^c\right)}.$$

Cette convention est à la fois standard et naturelle : une évaluation de gauche à droite donnerait $(a^b{)}^c=a^{bc}$, ce qui n'est qu'un seul exposant et rend la notation en tour inutile. Par exemple :

$$3^{2^4}=3^{16}=\mathrm{43,046,721},\text{whereas}(3^2{)}^4=9^4=\mathrm{6,561.}$$

Multiplication implicite (juxtaposition)

Lorsque la multiplication est indiquée en plaçant deux quantités côte à côte, sans aucun symbole de multiplication, on parle de multiplication implicite ou de multiplication par juxtaposition. Dans les écrits académiques et scientifiques, la juxtaposition reçoit conventionnellement une priorité plus élevée que la multiplication ou la division explicite, car les deux facteurs forment une unité visuelle.

Selon cette convention, $1/2n$ se lit $1/(2n)$, et non $(1/2)\cdot n$, et $a/bc$ signifie $a/(bc)$.

Cette convention n'est cependant pas universelle et constitue une source fréquente de confusion :

• De nombreuses calculatrices scientifiques (TI-83, la plupart des modèles HP) traitent $1/2n$ comme $(1/2)\cdot n$, donnant la priorité à la division de gauche à droite.
• La TI-82 et quelques autres donnent une priorité plus élevée à la juxtaposition.
• Google et Wolfram Alpha suivent strictement le PEMDAS de gauche à droite sans traitement spécial pour la juxtaposition.

En raison de ce désaccord, les expressions comme $a/bc$ doivent toujours être évitées à l'écrit. Utilisez des parenthèses explicites, telles que $a/(bc)$ ou $(a/b)\cdot c$, pour lever toute ambiguïté.

Signe moins unaire

Le signe moins peut être soit binaire (entre deux nombres, signifiant une soustraction), soit unaire (devant un nombre, signifiant une négation). Le moins unaire est généralement traité comme ayant une priorité inférieure à l'exponentiation, ainsi :

$$-3^2=-(3^2)=-9,\text{not}(-3{)}^2=9.$$

Lorsqu'on souhaite nier la base, des parenthèses explicites sont nécessaires.

Expressions ambiguës : le problème mathématique viral

En 2019, l'expression $8÷2(2+2)$ est devenue virale sur Internet, les gens arrivant à deux réponses différentes :

• Réponse 16 : Traiter $2(2+2)$ comme $2\times (2+2)$, puis appliquer le PEMDAS de gauche à droite : $8÷2\times 4=4\times 4=16$.
• Réponse 1 : Traiter $2(2+2)$ comme une unité de multiplication implicite avec une priorité plus élevée : $8÷[2(4)]=8÷8=1$.

Les deux réponses suivent une règle cohérente ; elles suivent simplement des règles différentes. L'expression est véritablement ambiguë, et le désaccord qu'elle a suscité illustre pourquoi les mathématiciens et scientifiques professionnels évitent totalement ce style d'écriture. L'American Mathematical Society a commenté que le problème est « ambigu tel qu'il est écrit ».

La conclusion correcte n'est pas de savoir quelle réponse est la bonne, mais qu'une expression bien écrite ne laisse aucune place à l'ambiguïté. Les deux manières non ambiguës d'écrire ce problème sont :

$$\frac{8}{2}\times (2+2)=16\text{or}\frac{8}{2(2+2)}=1.$$

Variantes internationales

PEMDAS est l'acronyme mnémotechnique standard aux États-Unis. D'autres pays anglophones utilisent différents acronymes pour les mêmes règles :

Acronyme Signification Utilisé en BODMAS Brackets (Crochets), Order (Ordre), Division/Multiplication, Addition/Soustraction Royaume-Uni, Inde, Australie BEDMAS Brackets (Crochets), Exponents (Exposants), Division/Multiplication, Addition/Soustraction Canada, Nouvelle-Zélande BIDMAS Brackets (Crochets), Indices, Division/Multiplication, Addition/Soustraction Royaume-Uni (alternative)

Malgré les noms différents, les règles mathématiques sont identiques. Les différences sont purement linguistiques (parentheses vs brackets, exponents vs orders vs indices), reflétant le vocabulaire anglais régional plutôt que des mathématiques différentes.

Foire aux questions