Multiplication de polynômes

Référence rapide

Dans cette section, nous apprendrons comment multiplier deux polynômes.

Méthode Utilisation idéale pour Idée centrale
Distributivité Multiplication de n'importe quels deux polynômes Multiplier chaque terme du premier par chaque terme du second
FOIL Multiplication de deux binômes uniquement Premier, Extérieur, Intérieur, Dernier (First, Outer, Inner, Last)
Méthode posée (verticale) Multiplication de trois termes ou plus Aligner les produits partiels par degré en colonnes

La règle

Pour multiplier deux polynômes, appliquez la distributivité en multipliant chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second. Utilisez ensuite la règle des exposants

a x n ⋅ b x m = a b x n + m

et rassemblez les termes semblables.

Produit de deux monômes

Pour multiplier deux monômes, multipliez les coefficients et additionnez les exposants :

( − 4 y 3 ) ( 5 y 6 ) = ( − 4 ) ( 5 ) y 3 + 6 = − 20 y 9 .

Produit d'un monôme et d'un polynôme

Utilisez la distributivité pour multiplier le monôme par chaque terme du polynôme :

3 x 2 ( 2 x 3 − 4 x + 5 ) = 6 x 5 − 12 x 3 + 15 x 2 .

Produit de deux polynômes

Distribuez chaque terme du premier polynôme sur tous les termes du second, puis rassemblez les termes semblables. Par exemple, pour développer ( 3 x − 2 ) ( 2 x 2 − 3 x + 4 ) , distribuez 3 x puis − 2 :

En additionnant les résultats :

6 x 3 + ( − 9 − 4 ) x 2 + ( 12 + 6 ) x − 8 = 6 x 3 − 13 x 2 + 18 x − 8.


Exemple 1. Multiplier ( 4 x 2 − 3 x + 5 ) ( 2 x 3 − x ) .

Solution

Degré du produit

Si A est un polynôme de degré n et B est un polynôme de degré m , alors le produit A ⋅ B est un polynôme de degré n + m :

deg ⁡ ( A ⋅ B ) = deg ⁡ ( A ) + deg ⁡ ( B ) .

Dans l'Exemple 1, 4 x 2 − 3 x + 5 a un degré $2$ et 2 x 3 − x a un degré $3$ ; le produit a un degré 2 + 3 = 5 , comme prévu.

Multiplication posée

Lors de la multiplication de polynômes comportant trois termes ou plus, une disposition structurée analogue à la multiplication posée des nombres entiers est souvent plus claire et moins sujette aux erreurs. La procédure est la suivante :

  1. Organiser les deux polynômes par ordre décroissant de degré. Écrivez celui qui a le plus de termes en haut (le multiplicande).
  2. Former les produits partiels : multipliez le multiplicande par chaque terme du multiplicateur séparément, en écrivant chaque résultat sur sa propre ligne.
  3. Aligner par degré : placez chaque produit partiel de sorte que les termes de même degré se trouvent dans la même colonne.
  4. Additionner colonne par colonne pour obtenir le résultat final.

Conseil clé : si le multiplicande n'a pas de terme d'un certain degré, cette colonne est simplement laissée vide (ou remplie avec $0$) pour maintenir l'alignement correct.

Exemple 2. Multiplier ( 2 x 3 − x 2 + 5 ) par ( x 2 + x − 3 ) .

Solution Organiser par ordre décroissant et former les trois produits partiels : Additionner les produits partiels, en les alignant par degré : 2 x 5 − x 4 + 5 x 2 + 2 x 4 − x 3 + 5 x − 6 x 3 + 3 x 2 − 15 2 x 5 + x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 + 5 x − 15 Par conséquent, ( 2 x 3 − x 2 + 5 ) ( x 2 + x − 3 ) = 2 x 5 + x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 + 5 x − 15.

Exemple 3. Multiplier ( 4 x 2 − 3 x + 5 ) par ( 2 x 3 − x ) en utilisant la méthode de multiplication posée.

Solution Le multiplicateur 2 x 3 − x n'a pas de terme en x 2 ni de terme constant, donc ces colonnes sont vides : En additionnant : 8 x 5 − 6 x 4 + 10 x 3 − 4 x 3 + 3 x 2 − 5 x 8 x 5 − 6 x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 − 5 x Par conséquent, ( 4 x 2 − 3 x + 5 ) ( 2 x 3 − x ) = 8 x 5 − 6 x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 − 5 x , ce qui confirme l'Exemple 1.

Méthode FOIL pour multiplier des binômes

Lors de la multiplication de deux binômes, un moyen mnémotechnique utile appelé FOIL organise les quatre produits qui découlent de la distributivité. FOIL signifie First (Premier), Outer (Extérieur), Inner (Intérieur), Last (Dernier).

Considérons deux binômes ( a + b ) et ( c + d ) où a , b , c et d représentent n'importe quels termes algébriques. Par exemple, dans (3x-2)(-2x^2+5x), nous avons a = 3 x , b = − 2 , c = − 2 x 2 et d = 5 x . Les quatre produits FOIL sont :

  1. F (Premier) : Multiplier les premiers termes de chaque binôme : a ⋅ c = a c .
  2. O (Extérieur) : Multiplier les termes extérieurs : a ⋅ d = a d .
  3. I (Intérieur) : Multiplier les termes intérieurs : b ⋅ c = b c .
  4. L (Dernier) : Multiplier les derniers termes : b ⋅ d = b d .

En additionnant les quatre produits : ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d .

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