Le Logarithme

Un logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation. Il répond à la question "à quelle puissance dois-je élever la base pour obtenir ce nombre ?" Les logarithmes apparaissent partout en mathématiques, en sciences et en ingénierie : l'échelle de pH, les niveaux de décibels, l'échelle de Richter et les formules d'intérêt composé reposent tous sur eux. Cette section présente la définition et les cinq règles des logarithmes fondamentales (également appelées règles de log ou propriétés des logarithmes).

Référence rapide : Tableau des règles des logarithmes

Le tableau ci-dessous résume les règles des logarithmes abordées dans cette section. Ici $b > 0$ , $b \neq 1$ et $u, v > 0$ .

Nom de la règle	Formule
Règle du produit	$\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
Règle du quotient	$\log_{b} (u / v) = \log_{b} u - \log_{b} v$
Règle de la puissance	$\log_{b} (u^{n}) = n \log_{b} u$
Règle du zéro	$\log_{b} 1 = 0$
Règle de l'identité	$\log_{b} b = 1$
Règle de l'inverse	$\log_{b} (1 / u) = - \log_{b} u$
Changement de base	$\log_{b} u = \frac{\log_{c} u}{\log_{c} b}$

Définition : Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Si nous élevons un nombre $b > 0$ ( $b \neq 1$ ) à une puissance $r$ et obtenons $u$ , alors $r$ est appelé le logarithme de $u$ en base $b$ , écrit $r = \log_{b} u$ . En d'autres termes, les deux équations

sont simplement deux manières différentes d'exprimer la même relation entre $b$ , $r$ et $u$ :

u = b^{r} ⟺ r = \log_{b} u

L'équation (a) est la forme exponentielle ; l'équation (b) est la forme logarithmique. Passer couramment de l'une à l'autre est la compétence clé pour travailler avec les logarithmes.

Exemples

Comme $2^{3} = 8$ et $10^{- 4} = 0.0001$ , nous avons

\log_{2} 8 = 3 et \log_{10} 0.0001 = - 4.

Plus d'exemples de conversion entre la forme exponentielle et la forme logarithmique :

Forme exponentielle	Forme logarithmique
$5^{2} = 25$	$\log_{5} 25 = 2$
$3^{0} = 1$	$\log_{3} 1 = 0$
$b^{1} = b$	$\log_{b} b = 1$
$4^{- 1} = \frac{1}{4}$	$\log_{4} \frac{1}{4} = - 1$

Pourquoi $u$ , l'argument d'un logarithme, doit être positif

Comme $b > 0$ , nous avons $u = b^{r} > 0$ pour tout nombre réel $r$ . Par conséquent, $\log_{b} u$ n'est défini que lorsque $u > 0$ ; le logarithme d'un nombre non positif n'existe pas (en tant que nombre réel). La condition $b \neq 1$ est également requise : si $b = 1$ alors $b^{r} = 1$ pour tout $r$ , ce qui rend impossible la récupération de $r$ à partir de $u$ .

Logarithmes et exposants : deux faces d'une même pièce

Un logarithme est l'inverse d'un exposant. Tout comme la soustraction annule l'addition et la division annule la multiplication, $\log_{b}$ annule $b^{(\cdot)}$ :

b^{\log_{b} u} = u and \log_{b} (b^{r}) = r .

Cette relation inverse est la raison pour laquelle chaque règle de logarithme correspond exactement à l'une des lois des exposants de la section précédente. Le tableau ci-dessous rend la correspondance explicite.

Règle du logarithme	Loi de l'exposant correspondante
$\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$	Règle du produit : $b^{r + s} = b^{r} \cdot b^{s}$
$\log_{b} (u / v) = \log_{b} u - \log_{b} v$	Règle du quotient : $b^{r - s} = b^{r} / b^{s}$
$\log_{b} (u^{n}) = n \log_{b} u$	Règle de la puissance : $(b^{r})^{s} = b^{r s}$
$\log_{b} 1 = 0$	Règle de l'exposant zéro : $b^{0} = 1$
$\log_{b} b = 1$	$b^{1} = b$

Logarithme décimal et logarithme népérien

Deux bases apparaissent si fréquemment qu'elles ont leur propre notation :

Logarithme décimal (base 10) : $\log_{10} u$ s'écrit simplement $\log u$ (aucune base écrite). C'est le logarithme utilisé en chimie du pH, pour l'échelle de Richter et les mesures de décibels. Sur une calculatrice, c'est le bouton $\log$ .
Logarithme népérien (base $e$ ) : $\log_{e} u$ s'écrit $\ln u$ . Ici $e \approx 2.71828 \dots$ est le nombre d'Euler. Le logarithme népérien apparaît partout en calcul infinitésimal, en physique et en probabilités. Sur une calculatrice, c'est le bouton $\ln$ .

Toutes les règles des logarithmes de cette section s'appliquent à la fois à $\log$ et à $\ln$ , puisqu'il s'agit simplement de $\log_{b}$ avec respectivement $b = 10$ et $b = e$ .

Propriétés des logarithmes

Les cinq propriétés suivantes découlent immédiatement de la définition. Dans chaque cas, la preuve traduit l'énoncé logarithmique en forme exponentielle, applique l'une des lois des exposants, puis effectue la conversion inverse.

Règle du produit : 
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  (
  u
  v
  )
  =
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  u
  +
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  v
Règle du quotient : 
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  (
  u
  /
  v
  )
  =
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  u
  −
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  v
Règle de la puissance : 
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  (
  
    u
    
      n
    
  
  )
  =
  n
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  u
Règle du zéro : 
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  1
  =
  0
Règle de l'inverse : 
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  (
  1
  /
  u
  )
  =
  −
  
    log
    
      b
    
  
  ⁡
  u

Nous supposons partout que $b > 0$ , $b \neq 1$ et $u, v > 0$ .

Règle du produit : $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$

Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes.

Preuve

Soient

p = \log_{b} u

q = \log_{b} v

, donc

u = b^{p}

v = b^{q}

. Par la règle du produit pour les exposants :

u v = b^{p} \cdot b^{q} = b^{p + q} .

En revenant à la forme logarithmique :

\log_{b} (u v) = p + q = \log_{b} u + \log_{b} v

◻

Règle du quotient : $\log_{b} (u / v) = \log_{b} u - \log_{b} v$

Le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes.

Preuve

Avec

p = \log_{b} u

q = \log_{b} v

, donc

u = b^{p}

v = b^{q}

. Par la règle du quotient pour les exposants :

\frac{u}{v} = \frac{b^{p}}{b^{q}} = b^{p - q} .

En revenant à la forme logarithmique :

\log_{b} (u / v) = p - q = \log_{b} u - \log_{b} v

◻

Règle de la puissance : $\log_{b} (u^{n}) = n \log_{b} u$

Un exposant à l'intérieur d'un logarithme peut être déplacé à l'extérieur en tant que multiplicateur.