Fractions

Une fraction algébrique (également appelée expression rationnelle) est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, tels que $\frac{x^{2} - 1}{x + 3}$ .

Nous manipulons les fractions algébriques de la même manière que nous manipulons les fractions en arithmétique.

Référence rapide

Opération	Formule	Remarques
Fractions équivalentes	$\frac{A}{B} = \frac{A C}{B C}$	$C \neq 0$
Simplification	Annuler les facteurs communs du numérateur et du dénominateur	Les facteurs annulés doivent être non nuls
Multiplication	$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}$	$B \neq 0$ , $D \neq 0$
Division	$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A D}{B C}$	$B \neq 0$ , $C \neq 0$ , $D \neq 0$
Addition/Soustraction (même dénominateur)	$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}$	$B \neq 0$
Addition/Soustraction (dénominateurs différents)	$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{A D \pm B C}{B D}$	$B \neq 0$ , $D \neq 0$
Fractions composées (Méthode 2)	Multiplier le numérateur et le dénominateur par le PDC	Élimine toutes les fractions internes d'un coup

Simplifier des fractions

Une règle fondamentale pour la manipulation des fractions est la suivante : si nous multiplions ou divisons à la fois le numérateur ou le dénominateur par la même quantité, la valeur de la fraction ne changera pas à condition que cette quantité soit non nulle, à savoir

$\frac{A}{B} = \frac{A C}{B C}, \frac{A}{B} = \frac{\frac{A}{C}}{\frac{B}{C}} (C \neq 0)$

Par exemple, multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur de $\frac{x - 1}{x + 2}$ par $(x - 3)$ donne la fraction équivalente

$\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)}$

à condition que $x - 3 \neq 0$ , c'est-à-dire à condition que $x \neq 3$ .

Inversement, si nous factorisons le numérateur et le dénominateur d'une fraction, nous pouvons annuler les facteurs communs pour simplifier la fraction (encore une fois, à condition que ces facteurs communs soient non nuls). Par exemple :

Exemple 1.

Exemple 1. Simplifier $\frac{x^{2} + x - 12}{3 - x}$ .

Solution

Factorisez le numérateur, puis observez que le dénominateur

3 - x = - (x - 3)

L'observation clé est que

3 - x = - (x - 3)

, ce qui permet l'annulation. Le résultat est valable pour

x \neq 3

Multiplier et diviser des fractions

Pour multiplier ou diviser des fractions, utilisez les règles suivantes :

Règle de multiplication :

\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} (B \neq 0, D \neq 0)

Pour multiplier deux fractions, multipliez leurs numérateurs ensemble et multipliez leurs dénominateurs ensemble.

Règle de division :

\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A D}{B C} (B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0)

Pour diviser par une fraction, inversez le diviseur et multipliez. En d'autres termes, « retournez » la deuxième fraction puis multipliez.

Exemple 2.

Exemple 2. Effectuez les opérations suivantes et simplifiez les résultats.

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x + 12}{x + 1}$
$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x^{2} - x - 6} \div \frac{x^{2} - x - 12}{4 x - 12}$

Solution

(a) Factorisez complètement chaque polynôme, puis annulez les facteurs communs avant de multiplier :

à condition que

x \neq - 1

.

(b) Réécrivez la division comme une multiplication par l'inverse, puis factorisez et annulez : $ \begin{aligned} \frac{x^{2}-6x+8}{x^{2}-x-6} \div \frac{x^{2}-x-12}{4x-12} &= \frac{x^{2}-6x+8}{x^{2}-x-6} \cdot \frac{4x-12}{x^{2}-x-12} \\[6pt] &= \frac{\