Formules de produits remarquables

Référence rapide

# Formule Nom
1 ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 Carré d'une somme
2 ( A − B ) 2 = A 2 − 2 A B + B 2 Carré d'une différence
3 ( A + B ) 3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3 Cube d'une somme
4 ( A − B ) 3 = A 3 − 3 A 2 B + 3 A B 2 − B 3 Cube d'une différence
6 ( x + A ) ( x + B ) = x 2 + ( A + B ) x + A B Produit de binômes avec un terme commun
7 ( A + B ) ( A − B ) = A 2 − B 2 Différence de carrés
8 ( A − B ) ( A 2 + A B + B 2 ) = A 3 − B 3 Différence de cubes
9 ( A + B ) ( A 2 − A B + B 2 ) = A 3 + B 3 Somme de cubes

Les formules

Les formules spéciales suivantes sont largement utilisées en algèbre et en calcul, et doivent être mémorisées. Vous pouvez vérifier chacune des formules par une multiplication réelle.

Ici A et B représentent des nombres réels, des variables ou des expressions algébriques.

Carrés de binômes

  1. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2    (Carré d'une somme)
  2. ( A − B ) 2 = A 2 − 2 A B + B 2    (Carré d'une différence)

Cubes de binômes

  1. ( A + B ) 3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3    (Cube d'une somme)
  2. ( A − B ) 3 = A 3 − 3 A 2 B + 3 A B 2 − B 3    (Cube d'une différence)

Notez que la formule du carré d'une différence peut être obtenue en remplaçant B par − B dans la formule du carré d'une somme. De même, remplacer B par − B dans la formule du cube d'une somme donne la formule du cube d'une différence.

Développement binomial

Les formules ci-dessus traitent les cas n = 2 et n = 3 . Pour des puissances plus élevées, les coefficients du développement de ( A + B ) n peuvent être lus directement dans le triangle de Pascal-Newton-Khayyam (communément appelé triangle de Pascal). Chaque ligne du triangle correspond à une valeur de n , et les entrées de cette ligne sont les coefficients de A n B 0 , A n − 1 B 1 , … , A 0 B n dans l'ordre.

n Coefficients de ( A + B ) n
0 $1$
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1

Chaque entrée est la somme du nombre situé directement au-dessus d'elle et du nombre à gauche de celui-ci. Par exemple, à la ligne 4, l'entrée $6$ est égale à 3 + 3 (le $3$ directement au-dessus et le $3$ à sa gauche à la ligne 3), et chaque $4$ est égal à 1 + 3 ou 3 + 1 selon la même règle. Les première et dernière entrées de chaque ligne sont toujours $1$. Pour développer ( A + B ) n , lisez la ligne n , joignez les puissances correspondantes de A (décroissantes de n à $0$) et de B (croissantes de $0$ à n ), et écrivez la somme.

Par exemple, en utilisant la ligne n = 4 :

( A + B ) 4 = A 4 + 4 A 3 B + 6 A 2 B 2 + 4 A B 3 + B 4 .

Et en utilisant la ligne n = 5 :

( A + B ) 5 = A 5 + 5 A 4 B + 10 A 3 B 2 + 10 A 2 B 3 + 5 A B 4 + B 5 .

Étude approfondie : La formule du coefficient binomial

La formule générale pour n'importe quelle puissance n Pour de grandes valeurs de n , lire le triangle ligne par ligne peut être fastidieux. L'entrée de la ligne n à la position k (en comptant à partir de $0$) est donnée par le coefficient binomial
quot;)}" display="block"> ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! quot;)}"> (read " n  choose  k ") où k ! = 1 × 2 × ⋯ × k (avec $0!=1$ par convention). Cela donne le développement général : ( A + B ) n = A n + ( n 1 ) A n − 1 B + ( n 2 ) A n − 2 B 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) A B n − 1 + B n et Vous pouvez vérifier que les coefficients binomiaux retrouvent les entrées du triangle : ( 4 0 ) = 1 , ( 4 1 ) = 4 , ( 4 2 ) = 6 , ( 4 3 ) = 4 , ( 4 4 ) = 1 , ce qui correspond à la ligne n = 4 ci-dessus.

Autres formules de produits

  1. ( x + A ) ( x + B ) = x 2 + ( A + B ) x + A B    (Produit de binômes avec un terme commun)
  2. ( A + B ) ( A − B ) = A 2 − B 2    (Différence de carrés)
  3. ( A − B ) ( A 2 + A B + B 2 ) = A 3 − B 3    (Différence de cubes)
  4. ( A + B ) ( A 2 − A B + B 2 ) = A 3 + B 3    (Somme de cubes)

Formules de trinômes

Le carré et le cube d'un trinôme A + B + C peuvent être dérivés des formules binomiales en traitant deux des trois termes comme une seule unité. Posons D = A + B , de sorte que A + B + C = D + C , puis appliquons les formules binomiales à la paire ( D , C ) .

Carré d'un trinôme. Appliquez la formule du Carré d'une somme à ( D + C ) 2 :

$ \begin{aligned} (A+B+C)^{2}&=(D+C)^{2}=D^{2}+2DC+C^{2} \\ &=(