Équations conditionnelles contre équations identiques

Une équation est un énoncé d'égalité entre deux expressions, telles que

x 2 = 6 x − 9 , 3 x 5 + 4 x + x 3 = 12 , ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 x + 1.

Toutes les équations ne se comportent pas de la même manière : certaines ne sont vraies que pour des valeurs spécifiques de la variable, d'autres sont vraies pour chaque valeur admissible, et certaines ne sont jamais vraies du tout. Comprendre cette distinction est fondamental en algèbre.

Référence rapide : Types d'équations

Type Vraie pour... Exemple Symbole
Équation conditionnelle Certaines valeurs admissibles (mais pas toutes) x 2 = 6 x − 9 (seulement x = 3 ) =
Identité Toutes les valeurs admissibles ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 x + 1 = ou ≡
Contradiction Aucune valeur x + 1 = x = (mais jamais satisfaite)

Propriétés fondamentales des équations

Si A = B et E = F (où A , B , E et F sont des nombres ou des expressions) alors

A + E = B + F , A ⋅ E = B ⋅ F , and A E = B F .

Bien entendu, nous devons exclure la division par zéro. En divisant une équation par une expression algébrique, nous devons noter pour quelles valeurs de la lettre le diviseur devient nul et les exclure de la discussion.

Variable, racine et solution

La variable d'une équation est la lettre ou le symbole représentant une quantité inconnue. Un nombre ou une expression qui, lorsqu'il est substitué à la variable, rend l'équation vraie est dit satisfaire l'équation. Ce nombre ou cette expression est appelé une racine ou une solution de l'équation. Résoudre une équation signifie trouver toutes ses solutions.

Par exemple, dans l'équation

5 x − 10 = 0 ,

x est la variable (ou l'inconnue) et x = 2 est la seule racine, ou la seule solution.

Équations conditionnelles et identités

Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs admissibles des variables impliquées est appelée une identité ou une équation identique. Une valeur admissible est une valeur pour laquelle les expressions de l'équation sont définies. Une équation qui n'est vraie que pour certaines valeurs de la variable impliquée est appelée une équation conditionnelle ou simplement une équation.

Par exemple, l'équation x 2 = 6 x − 9 n'est valide que lorsque x = 3 , c'est donc une équation conditionnelle, mais ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 x + 1 est vraie pour toutes les valeurs de x , c'est donc une identité. L'équation

1 x − 2 + 1 x + 1 = 2 x − 1 ( x − 2 ) ( x + 1 )

est vraie pour toutes les valeurs de x à l'exclusion de x = 2 et x = − 1 . Parce que la substitution de − 1 ou $2$ pour x conduit à une division par zéro, ces valeurs ne sont pas admissibles. Nous pouvons donc dire que cette équation est vraie pour toutes les valeurs admissibles de x et qu'il s'agit donc d'une identité.

Dans les identités, le signe égal = est parfois remplacé par ≡ .

Contradictions : Équations sans solution

Un troisième type d'équation, appelé une contradiction (ou équation inconsistante), est une équation qui est fausse pour chaque valeur de la variable. Par exemple,

x + 1 = x

n'a pas de solution : soustraire x des deux côtés donne 1 = 0 , ce qui n'est jamais vrai. Lorsqu'une résolution d'équation mène à un énoncé qui est toujours faux (comme 3 = 7 ), l'équation d'origine est une contradiction et son ensemble de solutions est vide.

Les trois types couvrent tous les cas possibles : une équation donnée est soit vraie pour aucune valeur (contradiction), pour certaines valeurs mais pas toutes (conditionnelle), ou pour toutes les valeurs admissibles (identité).

Formules

Une équation qui énonce un fait ou une règle générale est appelée une formule. Par exemple, l'équation A = π r 2 pour l'aire d'un cercle de rayon r est une formule. Une formule est un type particulier d'identité : elle est valable pour toutes les valeurs admissibles des variables impliquées.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre une équation conditionnelle et une identité ? Une équation conditionnelle est vraie uniquement pour des valeurs spécifiques de la variable. Une identité est vraie pour chaque valeur admissible de la variable. Par exemple, 2 x = 6 est conditionnelle (seul x = 3 la satisfait), tandis que 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 est une identité (vraie pour tout x ).
Comment savoir si une équation est une identité ou une équation conditionnelle ? Essayez de résoudre l'équation. Si vous arrivez à une valeur spécifique (par exemple, x = 3 ), elle est conditionnelle. Si toutes les variables s'annulent et qu'il vous reste un énoncé qui est toujours vrai (comme 0 = 0 ), l'équation est une identité. Si toutes les variables s'annulent et qu'il vous reste un énoncé qui est toujours faux (comme 1 = 0 ), c'est une contradiction.
Qu'est-ce qu'une contradiction en algèbre ? Une contradiction est une équation qui n'a pas de solution. Aucune valeur de la variable ne peut la rendre vraie. La résolution d'une contradiction produit toujours un énoncé faux, tel que 3 = 7 ou 0 = 5 . L'ensemble des solutions est vide, noté ∅ .
Que signifie le symbole ≡ dans une équation ? Le symbole ≡ (lu « est identiquement égal à ») est utilisé à la place de = pour signaler que l'équation est une identité, c'est-à-dire qu'elle est valable pour toutes les valeurs admissibles des variables. Par exemple, écrire ( x + 1 ) 2 ≡ x 2 + 2 x + 1 souligne que les deux côtés sont égaux pour chaque valeur de x .
Quelle est la différence entre une équation et une formule ? Une équation est n'importe quel énoncé d'égalité. Une formule est une équation qui exprime une relation ou une règle générale, telle que A = π r 2 ou E = m c 2 . Les formules sont des identités dans le sens où elles sont valables pour toutes les valeurs admissibles de leurs variables, mais le terme « formule » met l'accent sur l'utilisation pratique plutôt que sur la distinction entre les équations conditionnelles et identiques.
Une équation peut-elle avoir plus d'une solution ? Oui. Une équation conditionnelle peut avoir une solution, un nombre fini de solutions ou une infinité de solutions qui forment un sous-ensemble propre de tous les nombres réels. Par exemple, x 2 = 4 a deux solutions ( x = 2 et x = − 2 ). Une identité, en revanche, est satisfaite par chaque valeur admissible et n'est généralement pas décrite comme ayant « beaucoup de solutions » mais plutôt comme étant « universellement vraie ».