Division de polynômes

Soient $A=x^3+2x^2-1$ et $B=x^2-x+1$. Alors nous pouvons écrire

où $Q=x+3$ et $R=2x-4$ sont appelés respectivement le quotient et le reste. Vous pouvez vérifier l'équation ci-dessus en développant et en simplifiant le membre de droite.

En général, si $A$ et $B$ sont deux polynômes tels que le degré de $A$ est supérieur ou égal au degré de $B$, le processus consistant à trouver deux polynômes $Q$ et $R$ tels que

et $R$ est d'un degré inférieur à $B$, est appelé le processus de division de $A$ par $B$. Dans ce processus, $A$ est appelé le dividende, $B$ le diviseur, $Q$ le quotient et $R$ le reste. Si $R=0$, on dit que $A$ est divisible par $B$.

La manière dont le quotient est obtenu est mieux expliquée dans l'exemple suivant.

Divisez $2x^3-32x-15$ par $x-3$ et trouvez le quotient et le reste.

Solution

Tout d'abord, nous nous assurons que le dividende et le diviseur sont écrits selon les puissances décroissantes de $x$. Ensuite, nous divisons le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur $$\frac{2x^3}{x}=2x^2$$ puis multipliez $2x^2$ par le diviseur et soustrayez le résultat du dividende ou en utilisant la division posée, nous avons

Pour simplifier les calculs, nous pouvons inverser les signes du produit de la multiplication puis l'ajouter au dividende ; à savoir

Maintenant, nous divisons $6x^2-32x-15$ par $x-3$ et suivons les mêmes étapes ; c'est-à-dire que nous l'écrivons selon les puissances décroissantes de $x$ et divisons son premier terme, $6x^2$, par le premier terme du diviseur, $x$ : $6x^2/x=6x$

et répétez à nouveau jusqu'à ce que le degré du reste devienne inférieur au degré du diviseur

Par conséquent $$2x^3-32x-15=(x-3)(2x^2+6x-14)-57.$$ Ici, le quotient est $Q=2x^2+6x-14$ et le reste est $R=-57.$

Divisez $x^5-4x^3+x^2+1$ par $x^2+2x-1$ et trouvez le quotient et le reste

Solution

Le quotient et le reste sont respectivement $Q=x^3-2x^2+x-3$ et $R=7x-2$.