Addition et soustraction de polynômes

Référence rapide

Opération Règle Étape clé
Additionner des polynômes Combiner les termes semblables ( 7 x 2 + 3 x ) + ( 2 x 2 − x ) = 9 x 2 + 2 x
Soustraire des polynômes Distribuer le − , puis combiner les termes semblables ( 7 x 2 + 3 x ) − ( 2 x 2 − x ) = 5 x 2 + 4 x

La règle

Pour additionner ou soustraire des polynômes, additionnez ou soustrayez les coefficients des termes semblables.

Rappelez-vous que les termes semblables sont des termes ayant la même variable élevée au même exposant. Seuls les termes semblables peuvent être combinés ; les termes avec des exposants différents sont laissés comme des termes distincts dans le résultat.

Additionner des polynômes

Pour additionner deux polynômes, retirez les parenthèses et regroupez les termes semblables. Les parenthèses autour du premier polynôme peuvent toujours être supprimées sans changer de signe. Les parenthèses autour du second polynôme peuvent également être supprimées lors de l'addition, car un signe positif devant des parenthèses ne modifie aucun signe à l'intérieur.

Exemple 1. Additionnez ( 7 x 3 − 6 x 2 + 4 x + 9 ) + ( x 3 + 4 x 2 − 2 ) .

Solution

Soustraire des polynômes

La soustraction nécessite une étape supplémentaire : le signe moins devant les parenthèses doit être distribué à chaque terme à l'intérieur avant de combiner les termes semblables. Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l'intérieur.

Règle clé pour la soustraction : − ( a + b ) = − a − b et − ( a − b ) = − a + b .
Distribuez le signe négatif à tous les termes, pas seulement au premier.

Exemple 2. Soustrayez ( − 3 x 4 − 8 x ) − ( 5 x 3 − 3 x + 2 ) .

Solution Distribuez le signe moins à chaque terme du second polynôme : ( − 3 x 4 − 8 x ) − ( 5 x 3 − 3 x + 2 ) = − 3 x 4 − 8 x − 5 x 3 + 3 x − 2 . Ensuite, regroupez les termes semblables :

Méthode verticale

Pour les polynômes plus longs, il peut être utile d'écrire un polynôme directement au-dessus de l'autre, en alignant les termes semblables en colonnes, puis d'additionner ou de soustraire colonne par colonne. C'est ce qu'on appelle la méthode verticale.

Si un polynôme n'a pas un terme que l'autre possède, écrivez $0$ comme substitut pour ce terme afin que les colonnes restent alignées.

Exemple 3. Soustrayez ( 5 x 3 − 3 x + 2 ) de ( − 3 x 4 − 8 x ) en utilisant la méthode verticale.

Solution Écrivez le premier polynôme en haut, en insérant $0$ pour les degrés manquants : − 3 x 4 + 0 x 3 − 8 x + 0 − ( 5 x 3 − 3 x + 2 ) Changez le signe de chaque terme de la ligne du bas et additionnez : − 3 x 4 + 0 x 3 − 8 x + 0 + 0 x 4 − 5 x 3 + 3 x − 2 − 3 x 4 − 5 x 3 − 5 x − 2

Autres exemples

Exemple 4. Simplifiez ( 2 x 3 − 5 x + 1 ) + ( x 2 + 3 x − 4 ) − ( x 3 + x 2 − 2 ) .

Solution Les deux premiers polynômes sont additionnés et le troisième est soustrait. Distribuez le signe moins à chaque terme du troisième polynôme : Maintenant, regroupez les termes semblables par degré : Notez que le premier et le troisième polynômes ont tous deux un degré 3, tandis que le deuxième a un degré 2. Les termes en x 2 s'annulent complètement, le résultat n'a donc pas de terme en x 2 .

Exemple 5. Soient P = 4 x 2 − 3 x + 2 and Q = x 2 + 2 x − 1 . Trouvez P − 3 Q .

Solution Multipliez d'abord Q par $3$, en distribuant le scalaire à chaque terme : 3 Q = 3 ( x 2 + 2 x − 1 ) = 3 x 2 + 6 x − 3. Ensuite, soustrayez : P − 3 Q = ( 4 x 2 − 3 x + 2 ) − ( 3 x 2 + 6 x − 3 ) . Distribuez le signe moins et regroupez les termes semblables :

Erreurs courantes

Oublier de distribuer le signe moins à chaque terme. L'erreur la plus fréquente dans la soustraction de polynômes est de ne changer le signe que du premier terme à l'intérieur des parenthèses. Par exemple :

( x 2 + 3 x ) − ( 2 x 2 − x ) ≠ x 2 + 3 x − 2 x 2 − x .

L'étape correcte est :

( x 2 + 3 x ) − ( 2 x 2 − x ) = x 2 + 3 x − 2 x 2 + x = − x 2 + 4 x .

Combiner des termes non semblables. Seuls les termes ayant la même variable et le même exposant peuvent être combinés. Par exemple, 3 x 2 et 3 x ne sont pas des termes semblables et ne peuvent pas être additionnés pour donner 6 x 2 ou 6 x .

Foire aux questions

Comment additionner des polynômes ? Retirez les parenthèses et combinez les termes semblables en additionnant leurs coefficients. Par exemple, ( 3 x 2 + 2 x ) + ( x 2 − 5 x ) = ( 3 + 1 ) x 2 + ( 2 − 5 ) x = 4 x 2 − 3 x . Seuls les termes ayant la même variable et le même exposant peuvent être combinés.

Comment soustraire des polynômes ? Distribuez le signe moins à chaque terme du polynôme soustrait, puis combinez les termes semblables. Par exemple, ( 3 x 2 + 2 x ) − ( x 2 − 5 x ) = 3 x 2 + 2 x − x 2 + 5 x = 2 x 2 + 7 x . L'erreur la plus courante est d'oublier de changer le signe de chaque terme, et pas seulement du premier.

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