Inéquations linéaires

Une inégalité linéaire est une inégalité dans laquelle la variable n'apparaît qu'à la première puissance, telle que 7 x − 5 ≥ 4 x + 4 . La résolution d'une inégalité linéaire utilise les mêmes techniques que la résolution d'une équation linéaire, à une exception critique près : multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Référence rapide

Opération Effet sur le sens de l'inégalité
Ajouter ou soustraire n'importe quelle quantité Inchangé
Multiplier ou diviser par un nombre positif Inchangé
Multiplier ou diviser par un nombre négatif S'inverse (par ex. < devient > )
Multiplier ou diviser par une expression de signe inconnu Ne jamais faire cela

Pour résoudre des inégalités, nous nous appuyons sur des propriétés fondamentales abordées dans la Section sur les inégalités. Deux des plus importantes sont :

  • Nous pouvons ajouter (ou soustraire) la même quantité aux deux côtés sans changer le sens de l'inégalité.
  • Nous pouvons multiplier (ou diviser) les deux côtés par une quantité positive, sans changer le sens de l'inégalité.
  • Si nous multiplions ou divisons les deux côtés d'une inégalité par une quantité négative, le sens de l'inégalité s'inverse (voir la Section sur les inégalités).

Attention : Ne multipliez ou ne divisez jamais les deux côtés d'une inégalité par une quantité dont le signe est inconnu !

Les inégalités linéaires sont souvent faciles à résoudre. Il suffit d'isoler la variable d'un côté du signe d'inégalité.

Résolvez l'inégalité suivante

7 x − 5 ≥ 4 x + 4
Solution

Résolvez :

− 4 < 7 − 5 x 2 ≤ 1
Solution − 4 < 7 − 5 x 2 ≤ 1 ce qui peut également être réécrit sous la forme 1 ≤ x < 3 . Pour la dernière étape, rappelez-vous que lorsque nous divisons les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change (voir la Section sur les inégalités).
  • Pour le dernier exemple, notez que − 4 < 7 − 5 x 2 ≤ 1 signifie − 4 < 7 − 5 x 2 et 7 − 5 x 2 ≤ 1. En fait, nous devons résoudre deux inégalités.

Foire aux questions

Qu'est-ce qu'une inégalité linéaire ? Une inégalité linéaire est une affirmation qui compare deux expressions linéaires à l'aide de l'un des symboles < , ≤ , > , ou ≥ . Par exemple, 7 x − 5 ≥ 4 x + 4 est une inégalité linéaire. Sa solution est généralement un intervalle de valeurs plutôt qu'un nombre unique.

Pourquoi l'inégalité s'inverse-t-elle lorsque vous divisez par un nombre négatif ? Parce que multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse l'ordre relatif des nombres sur la droite numérique. Par exemple, 2 < 5 , mais − 2 > − 5 . Si vous divisez l'inégalité − 5 x ≤ − 5 par − 5 sans l'inverser, vous concluriez incorrectement x ≤ 1 ; la réponse correcte est x ≥ 1 .

Quelle est la différence entre une inégalité stricte ( < , > ) et une inégalité non stricte ( ≤ , ≥ ) ? Une inégalité stricte comme x < 3 exclut la borne (3 n'est pas une solution). Une inégalité non stricte comme x ≤ 3 inclut la borne (3 est une solution). En notation d'intervalle, les inégalités strictes utilisent des parenthèses, tandis que les inégalités non strictes utilisent des crochets : ( − ∞ , 3 ) contre ( − ∞ , 3 ] .

Comment résoudre une inégalité composée (double) comme − 4 < 7 − 5 x 2 ≤ 1 ? Appliquez toutes les opérations algébriques simultanément aux trois parties de l'inégalité. Dans l'exemple, multiplier les trois parties par 2 donne − 8 < 7 − 5 x ≤ 2 . Soustraire 7 des trois parties donne − 15 < − 5 x ≤ − 5 . Diviser les trois parties par − 5 (et inverser les deux signes d'inégalité) donne 3 > x ≥ 1 , ou de manière équivalente 1 ≤ x < 3 .

Comment exprimer la solution d'une inégalité linéaire en notation d'intervalle ? Écrivez la solution sous forme d'intervalle. Utilisez un crochet $[$ ou $]$ si la borne est incluse ( ≤ ou ≥ ), et une parenthèse $($ ou $)$ si elle est exclue ( < ou > ). Par exemple, x ≥ 3 devient [ 3 , + ∞ ) , et 1 ≤ x < 3 devient $[1, 3)$.