Exprimer une variable en fonction des autres

Résoudre pour une variable en fonction des autres signifie réorganiser une équation à plusieurs variables de sorte qu'une variable choisie soit isolée d'un côté. L'approche dépend du fait que l'équation soit linéaire, quadratique, fractionnaire ou radicale par rapport à la variable d'intérêt.

Dans de nombreux problèmes appliqués, une équation peut impliquer plusieurs variables, mais vous devez en résoudre une seule en fonction des autres. Ce processus est essentiel en sciences, en ingénierie et dans la vie quotidienne. En général, l'approche dépend du fait que l'équation soit linéaire ou quadratique (par rapport à la variable d'intérêt), ou si elle peut être réorganisée pour correspondre à l'un de ces types.

Loi des gaz parfaits (Chimie/Physique)

Équation :

P V = n R T,

où

$P$ est la pression,
$V$ est le volume,
$n$ est le nombre de moles de gaz,
$R$ est la constante universelle des gaz parfaits,
$T$ est la température.

Objectif : Résoudre pour $T$ en fonction de $P$ , $V$ , $n$ et $R$ .

Solution

Puisque l'équation est linéaire en

T

, isolez

T

en divisant les deux côtés par

n R

T = \frac{P V}{n R} .

Périmètre d'un rectangle (Géométrie quotidienne)

Équation :

P = 2 L + 2 W,

où

$P$ est le périmètre d'un rectangle,
$L$ est la longueur,
$W$ est la largeur.

Objectif : Résoudre pour $L$ en fonction de $P$ et $W$ .

Solution

Soustraire $2 W$ des deux côtés : $P - 2 W = 2 L .$
Diviser les deux côtés par $2$ pour isoler $L$ : $L = \frac{P - 2 W}{2} .$

Mouvement d'un projectile (Physique/Ingénierie)

Équation (position verticale) :

y = - 16 t^{2} + v_{0} t + y_{0},

où

$t$ est le temps (en secondes),
$v_{0}$ est la vitesse initiale,
$y_{0}$ est la hauteur initiale,
$- 16$ est la constante reflétant l'accélération gravitationnelle (ft/s $^{2}$ ).

Objectif : Résoudre pour $t$ en fonction de $y$ , $v_{0}$ et $y_{0}$ .

Solution

Réécrire l'équation pour l'égaliser à zéro : $- 16 t^{2} + v_{0} t + y_{0} - y = 0.$
Utiliser la formule quadratique $t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ , en posant $a = - 16$ , $b = v_{0}$ et $c = y_{0} - y$ : $t = \frac{- v_{0} \pm \sqrt{(v_{0})^{2} - 4 (- 16) (y_{0} - y)}}{2 (- 16)} .$
Simplifier : $t = \frac{- v_{0} \pm \sqrt{v_{0}^{2} + 64 (y_{0} - y)}}{- 32} .$

Formule des lentilles (Optique)

Équation :

\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{o}} + \frac{1}{d_{i}},

où

$f$ est la distance focale de la lentille,
$d_{o}$ est la distance entre la lentille et l'objet,
$d_{i}$ est la distance entre la lentille et l'image.

Objectif : Résoudre pour $d_{o}$ en fonction de $f$ et $d_{i}$ .

Solution

Isoler $\frac{1}{d_{o}}$ : $\frac{1}{d_{o}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_{i}} .$
Combiner le côté droit : $\frac{1}{f} - \frac{1}{d_{i}} = \frac{d_{i} - f}{f d_{i}} .$
Par conséquent : $\frac{1}{d_{o}} = \frac{d_{i} - f}{f d_{i}} .$
Prendre l'inverse : $d_{o} = \frac{f d_{i}}{d_{i} - f} .$

Période d'un pendule (Physique)

La période d'un pendule simple est approximativement donnée par

T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}},

où

$T$ est la période (en secondes),
$L$ est la longueur du pendule (en mètres),
$g$ est l'accélération due à la gravité (en m/s $^{2}$ ).

Objectifs :

(A) Résoudre pour $L$ en fonction de $T$ et $g$ .
(B) Résoudre pour $g$ en fonction de $T$ et $L$ .

Solution

Objectif A : Élever les deux côtés au carré et résoudre pour $L$ .

T^{2} = 4 π^{2} \frac{L}{g} ⟹ L = \frac{g T^{2}}{4 π^{2}} .

Objectif B : À partir de $T^{2} = 4 π^{2} \frac{L}{g}$ , réorganiser pour résoudre pour $g$ .

g = 4 π^{2} \frac{L}{T^{2}} .

Théorème de Pythagore (Géométrie/Ingénierie)

Équation :

a^{2} + b^{2} = c^{2},

où

$a$ et $b$ sont les côtés d'un triangle rectangle,
$c$ est l'hypoténuse.

Objectif : Résoudre pour $b$ en fonction de $a$ et $c$ .

Solution

Soustraire $a^{2}$ des deux côtés : $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$
Prendre la racine carrée positive (en supposant $b > 0$ ) : $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} .$

Foire aux questions

Que signifie résoudre pour une variable en fonction des autres ?

Cela signifie réorganiser une équation de sorte qu'une variable spécifique soit isolée d'un côté, exprimée en fonction de toutes les variables restantes. Par exemple, résoudre

P V = n R T

pour

T

donne

T = \frac{P V}{n R}

, ce qui vous indique exactement comment la température dépend des quatre autres quantités.

Comment savoir quelle méthode utiliser ?

Tout d'abord, décidez quelle variable vous souhaitez isoler. Regardez ensuite comment cette variable apparaît dans l'équation. Si elle n'apparaît qu'à la première puissance (linéairement), utilisez des opérations algébriques de base pour l'isoler. Si elle apparaît au carré, réorganisez sous la forme

a x^{2} + b x + c = 0

et appliquez la formule quadratique. Si elle apparaît dans un dénominateur, multipliez par l'expression appropriée pour le supprimer. Si elle apparaît sous un radical, isolez le radical et élevez les deux côtés à la puissance appropriée.

Une équation peut-elle avoir plus d'une solution lors de la résolution pour une variable ?

Oui. Si la variable cible apparaît à une puissance paire (comme

t^{2}

dans l'équation du mouvement d'un projectile), il peut y avoir deux solutions, correspondant souvent à des situations physiquement distinctes (par exemple, deux moments différents où un projectile atteint une hauteur donnée). Le contexte détermine quelle solution est significative.

Quelle est la différence entre résoudre une équation et évaluer une expression ?

Résoudre signifie trouver la ou les valeurs d'une inconnue qui rendent une équation vraie. Évaluer signifie substituer des valeurs connues dans une expression pour calculer un résultat. Résoudre pour une variable en fonction des autres est une forme de résolution symbolique : vous produisez une formule (une expression) plutôt qu'un nombre unique.

Pourquoi est-il utile de réorganiser des formules issues des sciences et de l'ingénierie ?

De nombreuses lois scientifiques expriment une relation entre plusieurs quantités. Selon ce que vous connaissez et ce que vous voulez trouver, vous devez réorganiser la formule. Par exemple,

P V = n R T

est la loi des gaz parfaits : un chimiste qui connaît

P

V

n

pourrait résoudre pour

T

pour trouver la température, tandis qu'un physicien qui connaît

T

V

n

pourrait résoudre pour

P

pour trouver la pression.