Équations du second degré

La forme générale des équations du second degré (ou une équation du second degré) est

Par exemple,

3 x^{2} - 5 x + 2 = 0

est une équation du second degré. Dans cet exemple, $a = 3, b = - 5$ , et $c = 2$ .

Résoudre des équations du second degré par factorisation

La factorisation est une technique puissante pour résoudre les équations du second degré. Une équation du second degré de la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ peut parfois être résolue en factorisant l'expression quadratique en deux facteurs linéaires. Si nous pouvons écrire l'équation sous la forme

(p x + q) (r x + s) = 0,

où $p$ , $q$ , $r$ , et $s$ sont des constantes, alors nous pouvons appliquer la ==propriété du produit nul==. La propriété du produit nul stipule que si le produit de deux expressions est nul, alors au moins l'une de ces expressions doit être nulle. C'est-à-dire :

A B = 0 if and only if A = 0 or B = 0.

Ainsi, l'équation est satisfaite lorsque soit $p x + q = 0$ soit $r x + s = 0$ . Cela conduit à deux solutions pour $x$ :

x = - \frac{q}{p} or x = - \frac{s}{r} .

Factoriser une équation du second degré simple

Résolvez l'équation du second degré $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ par factorisation.

Solution

Pour résoudre l'équation

x^{2} - 5 x + 6 = 0

par factorisation, nous cherchons deux nombres dont le produit est $6$ et la somme est

- 5

. Ces nombres sont

- 2

- 3

. Ainsi, l'expression quadratique peut être factorisée comme suit :

(x - 2) (x - 3) = 0.

En appliquant la propriété du produit nul, nous avons que l'équation est satisfaite si soit

x - 2 = 0

soit

x - 3 = 0

. Par conséquent, les solutions sont

x = 2 or x = 3.

Factoriser une équation du second degré avec un coefficient principal

Résolvez l'équation du second degré $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ par factorisation.

Solution

Pour résoudre cette équation par factorisation, nous écrivons :

2 x^{2} + 7 x + 3 = \frac{1}{2} [(2 x)^{2} + 7 (2 x) + 6] = \frac{1}{2} (2 x + a) (2 x + b) .

Nous cherchons

a

b

tels que

a + b = 7

a b = 6

. Il est clair que

a = 6

b = 1

. Par conséquent,

2 x^{2} + 7 x + 3 = \frac{1}{2} (2 x + 6) (2 x + 1) = (x + 3) (2 x + 1) .

Par conséquent, les deux facteurs sont

(2 x + 1) (x + 3) = 0.

Par la propriété du produit nul, l'équation est satisfaite si soit

2 x + 1 = 0

soit

x + 3 = 0

. Par conséquent, les solutions sont

2 x = - 1 ⟹ x = - \frac{1}{2} or x = - 3.

Complétion du carré

Si nous pouvons réécrire l'équation du second degré $a x^{2} + b x + c = 0$ sous la forme

(x + A)^{2} = C,

alors nous pouvons facilement la résoudre en prenant la racine carrée de chaque côté (voir Section : Équations puissances). Le membre de gauche est un carré parfait — le carré de $x + A$ — et si nous le développons, nous obtenons

(x + A)^{2} = x^{2} + 2 A x + A^{2} .

Ainsi, dans un carré parfait, le terme constant est le carré de la moitié du coefficient de $x$ .

Un binôme $x^{2} + b x$ devient un carré parfait si nous lui ajoutons ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} = {(x + \frac{b}{2})}^{2}

Cette méthode, appelée complétion du carré, a de nombreuses applications dans différentes branches des mathématiques. L'une de ces applications est la résolution d'équations du second degré et l'établissement de la formule quadratique que nous avons vue dans cette section.

Pour résoudre

x^{2} + b x + c = 0

nous ajoutons $(b / 2)^{2}$ aux deux côtés de l'équation, donc

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} + c = {(\frac{b}{2})}^{2}

Par conséquent, la somme des trois premiers termes forme un carré parfait

Par exemple, résolvons

x^{2} - 6 x - 5 = 0.

Tout d'abord, transposez 5 ; c'est-à-dire, ajoutez 5 aux deux côtés

x^{2} - 6 x = 5.

Si nous ajoutons maintenant $(- 6 / 2)^{2} = 9$ aux deux côtés, le membre de gauche sera un carré parfait

x^{2} - 6 x + 9 = 14

Les solutions sont donc $3 - \sqrt{14}$ et $3 + \sqrt{14}$ .

S'il y a une constante $a$ multipliant le terme $x^{2}$ , nous factorisons d'abord cette constante, puis nous complétons le carré, comme illustré dans l'exemple suivant.

Résolvez $3 x^{2} - 8 x + 2 = 0$ en complétant le carré.

Solution

Formule quadratique

Les solutions (ou racines) de l'équation du second degré (i) peuvent toujours être trouvées en utilisant la formule générale suivante, appelée formule quadratique :

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Démonstration

La formule quadratique peut être dérivée en utilisant la complétion du carré. Voici une démonstration étape par étape : 1. **Commencer par la forme générale** :

a x^{2} + b x + c = 0.

2. **Diviser par**

a

**(en supposant**

a \neq 0

**)** :

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0.

3. **Transposer le terme constant vers le côté droit** (c'est-à-dire soustraire les termes constants des deux côtés) :

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} .

4. **Compléter le carré** : Pour compléter le carré sur le membre de gauche, nous prenons la moitié du coefficient du terme

x

(qui est

\frac{b}{a}

), nous l'élevons au carré

{(\frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

, et nous l'ajoutons aux deux côtés de l'équation : $ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2