Équations du pouvoir

Une équation de puissance est une équation de la forme $x^{n} = a$ , où $a$ est un nombre fixe et $n$ est un entier positif. Le nombre de solutions réelles dépend du fait que l'exposant soit pair ou impair.

Référence rapide

Condition	Solution(s)
$n$ est impair	$x = \sqrt[n]{a}$ (une solution réelle pour tout $a$ )
$n$ est pair, $a > 0$	$x = \pm \sqrt[n]{a}$ (deux solutions réelles)
$n$ est pair, $a = 0$	$x = 0$ (une solution réelle)
$n$ est pair, $a < 0$	Aucune solution réelle

Équations de puissance

Considérons une équation de la forme

x^{n} = a

où $a$ est un nombre fixe et $n$ est un entier. Alors les solutions de l'équation ci-dessus sont :

Résoudre $(x - 5)^{4} = 81$ .

Solution

Par conséquent, les solutions sont

x = 8

x = 2

Résoudre $(u - 1)^{3} = - 8$ .

Solution

Foire aux questions

Qu'est-ce qu'une équation de puissance ?

Une équation de puissance est toute équation de la forme

x^{n} = a

, où

n

est un entier positif et

a

est une constante connue. Sa résolution nécessite de prendre la racine

n

-ième des deux côtés, le nombre de solutions réelles dépendant du fait que

n

soit pair ou impair.

Pourquoi y a-t-il deux solutions quand l'exposant est pair ?

Quand

n

est pair, un nombre positif et un nombre négatif élevés à la puissance

n

donnent le même résultat positif. Par exemple,

2^{4} = 16

(- 2)^{4} = 16

. Ainsi, si

x^{n} = a

avec

n

pair et

a > 0

, alors

x = \sqrt[n]{a}

x = - \sqrt[n]{a}

sont toutes deux des solutions valides.

Pourquoi n'y a-t-il pas de solution réelle quand l'exposant est pair et

a < 0

Tout nombre réel élevé à une puissance paire est non négatif. Par conséquent,

x^{n} \geq 0

pour tout

x

réel quand

n

est pair, ce qui rend impossible pour

x^{n}

d'être égal à un nombre négatif.

Pourquoi y a-t-il exactement une solution quand l'exposant est impair ?

Quand

n

est impair, la fonction

x \mapsto x^{n}

est strictement croissante et prend chaque valeur réelle exactement une fois, y compris les valeurs négatives. Ainsi, pour tout

a

réel, l'équation

x^{n} = a

possède exactement une solution réelle :

x = \sqrt[n]{a}

Et si

a = 0

a = 0

, alors

x^{n} = 0

n'a qu'une seule solution,

x = 0

, que

n

soit pair ou impair.