Équations

Une équation est une affirmation selon laquelle deux expressions sont égales. Les deux expressions sont appelées les côtés ou les membres de l'équation.

Par exemple,

3 - 8 = - 5

y^{2} = x^{3} + a x + b

sont toutes deux des équations.

Les équations sont des outils mathématiques essentiels pour résoudre des problèmes du monde réel. Dans ce chapitre, nous explorons comment résoudre quelques équations simples et comment les construire pour modéliser des situations de la vie réelle.

Référence Rapide

Terme	Description
Identité	Une équation vraie pour toutes les valeurs permises des inconnues
Équation conditionnelle	Une équation vraie seulement pour des valeurs spécifiques (ses solutions ou racines)
Équations équivalentes	Deux équations ayant exactement le même ensemble de solutions
Solution parasite	Une valeur introduite lors de la résolution qui ne satisfait pas l'équation d'origine
Équation redondante	Une équation dérivée avec des solutions supplémentaires (parasites)
Équation défectueuse	Une équation dérivée avec moins de solutions que l'originale

Équations Conditionnelles vs Identités

Une équation dans laquelle les membres sont égaux pour toutes les valeurs permises des lettres impliquées est appelée une équation identique, ou, plus brièvement, une identité. Les valeurs permises font référence à l'ensemble des valeurs pour lesquelles les deux membres de l'équation sont définis.

Une équation dont les membres ne sont pas égaux pour toutes les valeurs permises des lettres est appelée une équation conditionnelle.

L'équation $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ est une identité car les deux membres sont toujours égaux, quelles que soient les valeurs de $a$ et $b$ .
L'équation $x - 2 = 0$ est une équation conditionnelle dont les membres ne sont égaux que lorsque $x = 2$ .
L'équation $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{2 x + 1}{(x - 1) (x + 2)}$ est valide pour toutes les valeurs sauf pour les valeurs non permises $x = 1$ and $x = - 2$ , où une division par zéro se produirait, ce qui les rend non autorisées. Puisque l'équation est valide pour toutes les valeurs permises de $x$ , elle est considérée comme une identité.

Le mot « équation » seul sera utilisé pour désigner à la fois les identités et les équations conditionnelles, sauf si un tel usage prête à confusion. Généralement, cependant, le mot « équation » fait référence à une équation conditionnelle.

Parfois, pour souligner qu'une équation est une identité, nous utilisons « $\equiv$ » au lieu de « $=$ » entre les membres de l'équation.

Une équation conditionnelle peut être vue comme posant une question : l'équation demande les valeurs que certaines lettres devraient avoir pour que les deux membres soient égaux. Ces lettres, dont les valeurs sont demandées, sont appelées inconnues. Certaines des lettres d'une équation peuvent représenter des nombres connus.

Par exemple, $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ est une équation d'inconnue $x$ .

Solutions et Racines

On dit qu'une équation est satisfaite par un ensemble de valeurs des inconnues si les deux membres de l'équation deviennent égaux lorsque ces valeurs sont substituées aux inconnues. Par exemple, l'équation $2 x^{2} - 3 x + 5 = 3 x + 1$ est satisfaite par $x = 1$ ou $x = 2$ car la substitution de l'une ou l'autre de ces valeurs rend les deux membres égaux.
Pour une équation conditionnelle, les solutions sont les valeurs des inconnues qui satisfont l'équation.
Lorsqu'une seule inconnue est impliquée, ces solutions sont également appelées racines.
La solution d'une équation peut (et doit) être vérifiée en substituant les racines dans l'équation à la place de l'inconnue.

$4$ est une racine de l'équation $2 x - 3 = 5$ , car lorsque $x = 4$ l'équation devient $[2 (4) - 3] = 5$ , ce qui est vrai.

L'équation $y^{2} + 2 y = y + 2$ a pour solution $y = 1$ , car en substituant $1$ à $y$ , nous obtenons $1^{2} + 2 \times 1 = 1 + 2$ ou $3 = 3$ , et aussi la solution $y = - 2$ , puisque $(- 2)^{2} + 2 (- 2) = (- 2) + 2$ ou $0 = 0$ .

Comme l'illustrent ces exemples, une équation peut avoir une solution ou plus d'une solution. Dans des cas exceptionnels, une équation peut n'avoir aucune solution, car elle peut énoncer une condition qu'aucun nombre ne peut satisfaire. Par exemple, aucun nombre ne peut satisfaire l'équation $x + 2 = x + 3$ .
Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions ou prouver qu'elle n'a pas de solution.

Équations Équivalentes

Deux équations sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions.

Par exemple, $x - 3 = 0$ et $2 x = 6$ ont toutes deux la solution $x = 3$ , ce qui les rend équivalentes. Cependant, $x - 3 = 0$ et $x^{2} - 3 x = 0$ ne sont pas équivalentes, car $x^{2} - 3 x = 0$ a une solution supplémentaire $x = 0$ .

Rappelez-vous que si $A$ , $B$ et $C$ représentent n'importe quel nombre ou expression algébrique, alors :

Si $A = B$ , nous pouvons toujours conclure que $A + C = B + C$ , et inversement, si $A + C = B + C$ , alors $A = B$ .

A = B \Leftrightarrow A + C = B + C

Cela signifie que les équations $A = B$ et $A + C = B + C$ sont équivalentes, quel que soit $C$ .

Cependant, alors que $A = B$ implique que $A C = B C$ , si $A C = B C$ , nous ne pouvons conclure que $A = B$ que lorsque nous savons que $C \neq 0$ .

A = B \Rightarrow A C = B C

A C = B C et C \neq 0 \Rightarrow A = B

Cela signifie que les équations $A C = B C$ et $A = B$ sont équivalentes si $C$ n'est jamais nul pour aucune valeur de l'inconnue.

Par conséquent, nous concluons que chacune des opérations suivantes sur une équation produit une équation équivalente :

Addition du même nombre ou de la même expression aux deux membres de l'équation.
Soustraction du même nombre ou de la même expression des deux membres de l'équation.
Multiplication (ou division) des deux membres de l'équation par le même nombre ou la même expression, à condition qu'il ne soit pas nul et qu'il n'implique pas les inconnues.

Un terme apparaissant dans les deux membres d'une équation peut être annulé en soustrayant le terme des deux membres.

x + a = 5 + a,

soustrayez $a$ des deux membres :

x = 5.

Nous avons annulé $a$ des deux membres.

Un terme peut être transposé d'un membre de l'équation à l'autre en changeant son signe en le soustrayant des deux membres.

x + a - 5 = 7,

nous pouvons soustraire $(a - 5)$ des deux membres pour obtenir :

x = 7 - a + 5.

Nous avons transféré $a$ et $5$ de l'autre côté de l'équation et changé leurs signes.

Les signes de tous les termes des deux membres peuvent être changés en multipliant les deux membres par $- 1$ .

3 x - b = 5 - a x,

multiplier les deux membres par $- 1$ donne :

- 3 x + b = - 5 + a x .

Solutions Parasites, Équations Redondantes et Défectueuses

Précédemment, nous avons mentionné que multiplier les deux membres d'une équation par le même nombre ou la même expression non nul qui ne contient pas l'inconnue produit une équation équivalente. Mais que se passe-t-il si nous multiplions les deux membres par une expression qui contient l'inconnue ? Voici un exemple de ce qui peut mal tourner :

Considérons l'équation $3