Applications des équations linéaires

Applications des équations linéaires

Les équations linéaires sont des outils essentiels pour modéliser et résoudre des problèmes impliquant un taux de variation constant. Dans cette section, nous explorons six applications pratiques, démontrant comment elles nous aident à effectuer des calculs, des prévisions et à comprendre diverses situations du monde réel.

Référence rapide

Application Formule clé Variables
Coût et revenu C = c x + F ; R = p x ; point mort : C = R c =coût variable/unité, F =coût fixe, p =prix de vente
Mouvement d = r t d =distance, r =taux (vitesse), t =temps
Mélange Quantité initiale de substance = Quantité finale de substance Établir l'équation de conservation
Intérêt simple I = P r t P =capital, r =taux annuel, t =temps en années
Dépréciation linéaire V = V 0 − D t V 0 =valeur initiale, D =dépréciation annuelle
Température F = 9 5 C + 32 F =Fahrenheit, C =Celsius

Analyse des coûts et des revenus

Les entreprises utilisent souvent des équations linéaires pour analyser la relation entre les coûts (dépenses) et les revenus (recettes) en fonction du nombre d'unités produites ou vendues. Comprendre ces relations est crucial pour déterminer la rentabilité et prendre des décisions commerciales éclairées.

Une petite boulangerie vend des cupcakes. Les coûts fixes (loyer, services publics) sont de 200 dollars par jour. Le coût de production de chaque cupcake (ingrédients, main-d'œuvre) est de 1,50 dollar. Ils vendent chaque cupcake 3,50 dollars.

  1. Trouvez une équation pour le coût total, C , de production de x cupcakes.
  2. Trouvez une équation pour le revenu, R , de la vente de x cupcakes.
  3. Déterminez le point mort (c'est-à-dire le nombre de cupcakes qui doivent être vendus pour que le coût soit égal au revenu).
Solution
  1. Le coût total, C , est la somme des coûts fixes et des coûts variables. Le coût variable est de 1,50 $ par cupcake, donc C = 1.50 x + 200
  2. Le revenu, R , est le montant gagné par la vente de cupcakes. Puisque chaque cupcake se vend 3,50 $ : R = 3.50 x
  3. Le point mort est atteint lorsque le coût est égal au revenu, c'est-à-dire C = R . Nous résolvons donc : Par conséquent, la boulangerie atteint le point mort lorsqu'elle vend 100 cupcakes.

Problèmes de distance, vitesse et temps

Les équations linéaires peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes impliquant un mouvement à vitesse constante. La relation fondamentale entre la vitesse moyenne, la distance et le temps est donnée par :

vitesse = distance parcourue temps

ou r = d / t , où d est la distance, r est la vitesse moyenne (ou taux) et t est le temps.

Deux trains quittent la même gare au même moment, voyageant dans des directions opposées. Le train A voyage à 70 milles par heure, et le train B voyage à 90 milles par heure. Combien de temps faudra-t-il pour que les trains soient distants de 500 milles ?

Solution Soit t le temps (en heures). La distance parcourue par le train A est 70 t , et la distance parcourue par le train B est 90 t . La somme des distances sera égale à la distance totale entre les trains, soit 500 milles. Par conséquent : Il faudra 3,125 heures (soit 3 heures et 7,5 minutes) pour que les trains soient distants de 500 milles.

La distance entre deux villes est de 200 kilomètres. Une voiture va de la ville A à la ville B avec une vitesse moyenne de 100 kilomètres par heure et revient immédiatement de la ville B à la ville A avec une vitesse moyenne de 80 kilomètres par heure. Quelle est la vitesse moyenne de cette voiture pour l'ensemble du trajet ?

Solution Tout d'abord, notez que la vitesse moyenne n'est pas égale à la moyenne des vitesses. La vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet est égale à la distance totale divisée par le temps total. Soit t 1 le temps nécessaire pour aller de A à B et t 2 le temps pour revenir de B à A. Le temps est égal à la distance divisée par la vitesse moyenne, donc t 1 = 200  km 100  km/h = 2  h t 2 = 200  km 80  km/h = 2.5  h La distance totale est 200 + 200 = 400 km. Le temps total est 2 + 2 , 5 = 4 , 5 heures. Ainsi, la vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet est 400  km 4.5  h ≈ 88.89  km/h

Problèmes de mélange

Les problèmes de mélange consistent à combiner différentes quantités d'une substance pour obtenir un résultat souhaité. Ces problèmes peuvent souvent être résolus à l'aide d'une seule équation linéaire si la quantité totale du mélange est connue.

Un chimiste possède 10 litres d'une solution saline à 25 %. Il souhaite la diluer pour obtenir une solution à 10 % en ajoutant de l'eau pure. Quelle quantité d'eau pure (qui a une concentration saline de 0 %) le chimiste doit-il ajouter ?

Solution Soit x la quantité d'eau (en litres) à ajouter. La quantité de sel dans la solution initiale est 0 , 25 × 10 = 2 , 5 litres. Le volume final de la solution est 10 + x litres, et la concentration de sel sera de $10\%$, donc le volume final de sel est $0,10(10+x)$. Comme seule de l'eau est ajoutée, la quantité de sel reste constante. Par conséquent : Le chimiste doit ajouter 15 litres d'eau à la solution.

Calculs d'intérêt simple

L'intérêt simple est une méthode de calcul de l'intérêt où l'intérêt n'est gagné que sur le montant du capital. La formule de l'intérêt simple, I , est donnée par :

I = P r t

où P est le montant du capital (investissement initial), r est le taux d'intérêt annuel (exprimé sous forme décimale) et t est la période de temps en années.

Sarah investit 1000 $ dans un compte d'épargne qui rapporte un intérêt annuel simple de 4 %. Quel intérêt gagnera-t-elle après 3 ans ?

Solution L'intérêt simple, I , est calculé comme suit : I = P r t où P est le capital, r est le taux annuel et t est le temps en années. En remplaçant par les valeurs données : I = 1000 × 0.04 × 3 = 120 Sarah gagnera 120 $ d'intérêt après 3 ans.

Dépréciation linéaire

La dépréciation linéaire est une méthode utilisée pour estimer la perte de valeur d'un actif au fil du temps. Dans un modèle de dépréciation linéaire, l'actif perd de la valeur à un taux constant sur sa durée de vie. C'est une simplification des scénarios de dépréciation du monde réel, mais elle est utile à des fins de modélisation.

Une entreprise achète une machine pour 10 000 $. On s'attend à ce qu'elle ait une valeur de récupération de 1 000 $ après 9 ans. En utilisant