Commutativité

Le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints et normaux et le calcul fonctionnel peuvent également être utilisés pour résoudre certains problèmes concernant la commutativité. C’est un sujet profond et vaste ; nous en discutons deux théorèmes, plus pour illustrer certaines méthodes que pour les résultats eux-mêmes.

Théorème 1. Deux transformations auto-adjointes $A$ et $B$ sur un espace produit scalaire de dimension finie commutent si et seulement s’il existe une transformation auto-adjointe $C$ et deux fonctions à valeurs réelles $f$ et $g$ d’une variable réelle telles que $A = f (C)$ et $B = g (C)$ . Si un tel $C$ existe, alors on peut même choisir $C$ sous la forme $C = h (A, B)$ , où $h$ est une fonction convenable à valeurs réelles de deux variables réelles.

Démonstration. La suffisance de la condition est évidente ; nous démontrons seulement la nécessité.

Soient $A = \sum_{i} α_{i} E_{i}$ et $B = \sum_{j} β_{j} F_{j}$ les formes spectrales de $A$ et de $B$ ; comme $A$ et $B$ commutent, il résulte du Section : Théorème spectral , Théorème 3, que $E_{i}$ et $F_{j}$ commutent. Soit $h$ une fonction quelconque de deux variables réelles telle que les nombres $h (α_{i}, β_{j}) = γ_{i j}$ soient tous distincts, et posons $C = h (A, B) = \sum_{i} \sum_{j} h (α_{i}, β_{j}) E_{i} F_{j} .$ (Il est clair que $h$ peut même être choisie comme un polynôme, et il en va de même des fonctions $f$ et $g$ que nous allons décrire.) Soient $f$ et $g$ telles que $f (γ_{i j}) = α_{i}$ et $g (γ_{i j}) = β_{j}$ pour tous $i$ et $j$ . Il s’ensuit que $f (C) = A$ et $g (C) = B$ , et tout est démontré. ◻

Théorème 2. Si $A$ est une transformation normale sur un espace unitaire de dimension finie et si $B$ est une transformation arbitraire qui commute avec $A$ , alors $B$ commute avec $A^{*}$ .

Démonstration. Soient $A = \sum_{i} α_{i} E_{i}$ la forme spectrale de $A$ ; alors $A^{*} = \sum_{i} {\bar{α}}_{i} E_{i}$ . Soit $f$ une fonction (polynôme) d’une variable complexe telle que $f (α_{i}) = {\bar{α}}_{i}$ pour tout $i$ . Puisque $A^{*} = f (A)$ , la conclusion s’ensuit. ◻

EXERCICES

Exercice 1.

Démontrer la généralisation suivante du théorème 2 : si $A_{1}$ et $A_{2}$ sont des transformations normales (sur un espace unitaire de dimension finie) et si $A_{1} B = B A_{2}$ , alors $A_{1}^{*} B = B A_{2}^{*}$ .
Le théorème 2 affirme que la relation de commutativité est parfois transitive : si $A^{*}$ commute avec $A$ et si $A$ commute avec $B$ , alors $A^{*}$ commute avec $B$ . Cette formulation reste-t-elle vraie si $A^{*}$ est remplacée par une transformation arbitraire $C$ ?

Exercice 2.

Si $A$ commute avec $A^{*} A$ , s’ensuit-il que $A$ est normale ?
Si $A^{*} A$ commute avec $A A^{*}$ , s’ensuit-il que $A$ est normale ?

Exercice 3.

Une transformation linéaire $A$ est normale si et seulement s’il existe un polynôme $p$ tel que $A^{*} = p (A)$ .
Si $A$ est normale et commute avec $B$ , alors $A$ commute avec $B^{*}$ .
Si $A$ et $B$ sont normales et commutent, alors $A B$ est normale.

Exercice 4. Si $A$ et $B$ sont normales et semblables, alors elles sont unitairement équivalentes.

Exercice 5.

Si $A$ est hermitienne, si chaque valeur propre de $A$ a la multiplicité $1$ , et si $A B = B A$ , alors il existe un polynôme $p$ tel que $B = p (A)$ .
Si $A$ est hermitienne, alors une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un polynôme $p$ tel que $B = p (A)$ est que $B$ commute avec toute transformation linéaire qui commute avec $A$ .

Exercice 6. Montrer qu’un ensemble commutatif de transformations normales sur un espace unitaire de dimension finie peut être diagonalisé simultanément.