Théorème ergodique

Le travail routinier étant écarté, nous poursuivons en illustrant la théorie générale par l'examen de quelques problèmes de convergence très particuliers mais tout à fait importants.

Théorème 1. Si $U$ est une isométrie sur un espace de produit scalaire de dimension finie, et si $ℳ$ est le sous-espace de toutes les solutions de $U x = x$ , alors la suite définie par $V_{n} = \frac{1}{n} (1 + U + \dots + U^{n - 1})$ converge lorsque $n \to \infty$ vers la projection orthogonale $E = P_{ℳ}$ .

Démonstration. Soit $𝒩$ l'image de la transformation linéaire $1 - U$ . Si $x = y - U y$ appartient à $𝒩$ , alors de sorte que Ceci implique que $V_{n} x$ converge vers zéro lorsque $x$ est dans $𝒩$ .

D'autre part, si $x$ est dans $ℳ$ , c'est-à-dire $U x = x$ , alors $V_{n} x = x$ , de sorte que dans ce cas $V_{n} x$ converge certainement vers $x$ .

Nous achèverons la démonstration en montrant que $𝒩^{⟂} = ℳ$ . (Ceci impliquera que tout vecteur est somme de deux vecteurs pour lesquels $(V_{n})$ converge, de sorte que $(V_{n})$ converge partout. Ce que nous avons déjà prouvé au sujet de la limite de $(V_{n})$ dans $ℳ$ et dans $𝒩$ montre que $(V_{n} x)$ converge toujours vers la projection de $x$ sur $ℳ$ .) Pour montrer que $𝒩^{⟂} = ℳ$ , on observe que $x$ est dans le complément orthogonal de $𝒩$ si et seulement si $(x, y - U y) = 0$ pour tout $y$ . Ceci implique à son tour que c'est-à-dire que $x - U^{*} x = x - U^{- 1} x$ est orthogonal à tout vecteur $y$ , de sorte que $x - U^{- 1} x = 0$ , $x = U^{- 1} x$ , ou $U x = x$ . En lisant le dernier calcul de droite à gauche, on voit que cette condition nécessaire est aussi suffisante ; il suffit de se rappeler la définition de $ℳ$ pour voir que $ℳ = 𝒩^{⟂}$ . ◻

Cette démonstration très ingénieuse, qui fonctionne avec de très légères modifications dans la plupart des cas importants de dimension infinie, est due à F. Riesz.