Série entière

Comme autre exemple de série infinie de transformations, nous considérons la série exponentielle. Pour une transformation linéaire arbitraire $A$ (pas nécessairement avec ) nous écrivons $$S_p=\sum _{n=0}^p\frac{1}{n!}{A}^n.$$ Puisque nous avons $$\Vert S_p-S_q\Vert \le \sum _{n=q+1}^p\frac{1}{n!}\Vert A{\Vert }^n,$$ et puisque le membre droit de cette inégalité, étant une partie de la série entière de $\exp \Vert A\Vert =e^{\Vert A\Vert }$ , converge vers $0$ lorsque $p,q\to \mathrm{\infty }$ , nous voyons qu'il existe une transformation linéaire $S$ telle que $S_p\to S$ . Nous écrivons $S=\exp A$ ; nous nous contenterons de mentionner quelques-unes des propriétés élémentaires de cette fonction de $A$ .

L'examen des formes triangulaires de $A$ et de $S_p$ montre que les valeurs propres de $\exp A$ , ainsi que leurs multiplicités algébriques, sont égales aux exponentielles des valeurs propres de $A$ . (Cet argument, ainsi que certains de ceux qui suivent, s'applique directement au cas complexe seulement ; le cas réel doit être déduit par complexification.) De l'examen de la forme triangulaire il résulte aussi que le déterminant de $\exp A$ , c'est-à-dire $\prod _{i=1}^N\exp {\lambda }_i$ , où ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_N$ sont les valeurs propres (non nécessairement distinctes) de $A$ , est le même que $\exp ({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_N)=\exp (\mathrm{tr}A)$ . Puisque $\exp \zeta \ne 0$ , ceci montre, en passant, que $\exp A$ est toujours inversible.

Considérée comme fonction des transformations linéaires, l'exponentielle conserve beaucoup des propriétés simples de la fonction exponentielle numérique ordinaire. Prenons, par exemple, deux transformations linéaires commutatives $A$ et $B$ . Puisque $\exp (A+B)-\exp A\exp B$ est la limite (lorsque $p\to \mathrm{\infty }$ ) de l'expression nous aurons prouvé la règle de multiplication des exponentielles quand nous aurons prouvé que cette expression converge vers zéro. (Ici $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$ désigne le coefficient combinatoire $\frac{n!}{j!(n-j)!}$ .) Une vérification facile montre que pour $k+m\le p$ le produit $A^m{B}^k$ apparaît dans les deux termes de la dernière expression écrite avec des coefficients qui ne diffèrent que par le signe. Les termes qui ne s'annulent pas sont tous dans le soustrahend et sont ensemble égaux à $$\sum _m\sum _k\frac{1}{m!k!}{A}^m{B}^k,$$ la sommation étant étendue aux valeurs de $m$ et $k$ qui sont $\le p$ et pour lesquelles . Puisque implique qu'au moins l'un des deux entiers $m$ et $k$ est supérieur à la partie entière de $p/2$ (en symboles $\lfloor p/2\rfloor$ ), la norme de ce reste est dominée par où ${\alpha }_p\to 0$ et ${\beta }_p\to 0$ lorsque $p\to \mathrm{\infty }$ .

Des méthodes similaires permettent de traiter $f(A)$ , où $f$ est une fonction représentable par une série entière, $$f(\zeta )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{\zeta }^n,$$ et où $\Vert A\Vert$ est (strictement) plus petite que le rayon de convergence de la série. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que le calcul fonctionnel que nous esquissons ici est compatible avec le calcul fonctionnel pour les transformations normales. Ainsi, par exemple, $\exp A$ tel que défini ci-dessus est la même transformation linéaire que celle définie par notre notion antérieure de $\exp A$ dans le cas où $A$ est normale.

EXERCICES