Minimax principle

Un fait très élégant et utile concernant les transformations auto-adjointes est le principe minimax suivant.

Théorème 1. Soit $A$ une transformation auto-adjointe sur un espace de produit scalaire de dimension $n$ $𝒱$ , et soient $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les valeurs propres (pas nécessairement distinctes) de $A$ , la notation étant choisie de sorte que $λ_{1} \geq λ_{2} \geq \dots \geq λ_{n}$ . Si, pour chaque sous-espace $ℳ$ de $𝒱$ , $μ (ℳ) = sup {(A x, x) : x dans ℳ, ‖ x ‖ = 1},$ et si, pour $k = 1, \dots, n$ , $μ_{k} = inf {μ (ℳ) : \dim ℳ = n - k + 1},$ alors $μ_{k} = λ_{k}$ pour $k = 1, \dots, n$ .

Démonstration. Soit ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ une base orthonormée de $𝒱$ pour laquelle $A x_{i} = λ_{i} x_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ ( Section : Théorème spectral ); soit $ℳ_{k}$ le sous-espace engendré par $x_{1}, \dots, x_{k}$ , pour $k = 1, \dots, n$ . Puisque la dimension de $ℳ_{k}$ est $k$ , le sous-espace $ℳ_{k}$ ne peut pas être disjoint de tout sous-espace $ℳ$ de dimension $n - k + 1$ de $𝒱$ ; si $ℳ$ est un tel sous-espace, on peut trouver un vecteur $x$ appartenant à la fois à $ℳ_{k}$ et à $ℳ$ et tel que $‖ x ‖ = 1$ . Pour ce $x = \sum_{i = 1}^{k} ξ_{i} x_{i}$ on a de sorte que $μ (ℳ) \geq λ_{k}$ .

Si, d'autre part, on considère le sous-espace particulier $ℳ_{0}$ de dimension $n - k + 1$ engendré par $x_{k}, x_{k + 1}, \dots, x_{n}$ , alors, pour chaque $x = \sum_{i = k}^{n} ξ_{i} x_{i}$ dans ce sous-espace, on a (en supposant $‖ x ‖ = 1$ ) de sorte que $μ (ℳ_{0}) \leq λ_{k}$ .

En d'autres termes, lorsque $ℳ$ parcourt tous les sous-espaces de dimension $n - k + 1$ , $μ (ℳ)$ est toujours $\geq λ_{k}$ , et est au moins une fois $\leq λ_{k}$ ; ceci montre que $μ_{k} = λ_{k}$ , ce qu'il fallait démontrer. ◻

En particulier, pour $k = 1$ , on voit (en utilisant Section : Bornes d'une transformation auto-adjointe ) que si $A$ est auto-adjointe, alors $‖ A ‖$ est égale au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de $A$ .

EXERCICES

Exercice 1. Si $λ$ est une valeur propre d'une transformation linéaire $A$ sur un espace de produit scalaire de dimension finie, alors $| λ | \leq ‖ A ‖$ .

Exercice 2. Si $A$ et $B$ sont des transformations linéaires sur un espace unitaire de dimension finie, et si $C = A B - B A$ , alors $‖ 1 - C ‖ \geq 1$ . (Indication : considérer les valeurs propres de $C$ .)

Exercice 3. Si $A$ et $B$ sont des transformations linéaires sur un espace unitaire de dimension finie, si $C = A B - B A$ , et si $C$ commute avec $A$ , alors $C$ n'est pas inversible. (Indication : si $C$ est inversible, alors $2 ‖ B ‖ \cdot ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{k - 1} ‖ \geq k ‖ A^{k - 1} ‖ / ‖ C^{- 1} ‖$ .)

Exercice 4.

Si $A$ est une transformation linéaire normale sur un espace unitaire de dimension finie, alors $‖ A ‖$ est égale au maximum des valeurs absolues des valeurs propres de $A$ .
La conclusion de (a) reste-t-elle vraie si l'on omet l'hypothèse de normalité ?

Exercice 5. Le rayon spectral d'une transformation linéaire $A$ sur un espace unitaire de dimension finie, noté $r (A)$ , est le maximum des valeurs absolues des valeurs propres de $A$ .

Si $f (λ) = ((1 - λ A)^{- 1} x, y)$ , alors $f$ est une fonction analytique de $λ$ dans la région déterminée par $| λ | < \frac{1}{r (A)}$ (pour chaque $x$ et $y$ fixés).
Il existe une constante $K$ telle que $| λ |^{n} ‖ A^{n} ‖ \leq K$ pour tout $| λ | < \frac{1}{r (A)}$ et $n = 0, 1, 2, \dots$ . (Indication : pour chaque $x$ et $y$ il existe une constante $K$ telle que $| λ^{n} (A^{n} x, y) | \leq K$ pour tout $n$ .)
$lim sup_{n} ‖ A^{n} ‖^{1 / n} \leq r (A)$ .
$(r (A))^{n} \leq r (A^{n})$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
$r (A) = lim_{n} ‖ A^{n} ‖^{1 / n}$ .

Exercice 6. Si $A$ est une transformation linéaire sur un espace unitaire de dimension finie, alors une condition nécessaire et suffisante pour que $r (A) = ‖ A ‖$ est que $‖ A^{n} ‖ = ‖ A ‖^{n}$ pour $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Exercice 7.

Si $A$ est une transformation linéaire positive sur un espace de produit scalaire de dimension finie, et si $A B$ est auto-adjointe, alors $| (A B x, x) | \leq ‖ B ‖ \cdot (A x, x)$ pour tout vecteur $x$ .
La conclusion de (a) reste-t-elle vraie si l'on remplace $‖ B ‖$ par $r (B)$ ?