Norme

Les propriétés métriques des vecteurs ont certaines implications importantes pour les propriétés métriques des transformations linéaires, que nous commençons maintenant à étudier.

Définition 1. Une transformation linéaire $A$ sur un espace préhilbertien $𝒱$ est bornée s'il existe une constante $K$ telle que $‖ A x ‖ \leq K ‖ x ‖$ pour tout vecteur $x$ de $𝒱$ . La borne inférieure de toutes les constantes $K$ ayant cette propriété est appelée la norme (ou borne ) de $A$ et est notée $‖ A ‖$ .

Clairement, si $A$ est bornée, alors $‖ A x ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ x ‖$ pour tout $x$ . Comme exemples, nous pouvons considérer les cas où $A$ est une projection perpendiculaire (non nulle) ou une isométrie ; Section : Projections perpendiculaires , Théorème 1, et le théorème de la Section : Isométries , respectivement, impliquent que dans les deux cas $‖ A ‖ = 1$ . L'étude des vecteurs définis par $x_{n} (t) = t^{n}$ dans $𝒫$ montre que la transformation de dérivation n'est pas bornée.

Parce que dans la suite nous aurons l'occasion de considérer un certain nombre de bornes supérieures et inférieures similaires à $‖ A ‖$ , nous introduisons une notation commode. Si $P$ est une propriété quelconque possible des nombres réels $t$ , nous désignerons l'ensemble de tous les nombres réels $t$ possédant la propriété $P$ par le symbole ${t : P}$ , et nous désignerons la borne inférieure et la borne supérieure par inf (pour infimum) et sup (pour supremum) respectivement. Dans cette notation, nous avons, par exemple, $‖ A ‖ = inf {K : ‖ A x ‖ \leq K ‖ x ‖ pour tout x} .$

La notion de bornitude est étroitement liée à la notion de continuité. Si $A$ est bornée et si $ϵ$ est un nombre positif quelconque, en écrivant $δ = \frac{ϵ}{‖ A ‖}$ nous nous assurons que $‖ x - y ‖ < δ$ implique que en d'autres termes, la bornitude implique la continuité (uniforme). (Dans cette démonstration, nous avons tacitement supposé que $‖ A ‖ \neq 0$ ; l'autre cas est trivial.) Compte tenu de ce fait, le résultat suivant est le bienvenu.

Théorème 1. Toute transformation linéaire sur un espace préhilbertien de dimension finie est bornée.

Démonstration. Supposons que $A$ soit une transformation linéaire sur $𝒱$ ; soit ${x_{1}, \dots, x_{N}}$ une base orthonormale de $𝒱$ et posons $K_{0} = max {‖ A x_{1} ‖, \dots, ‖ A x_{N} ‖} .$ Puisqu'un vecteur arbitraire $x$ peut s'écrire sous la forme $x = \sum_{i} (x, x_{i}) x_{i}$ , nous obtenons, en appliquant l'inégalité de Schwarz et en nous rappelant que $‖ x_{i} ‖ = 1$ , En d'autres termes, $K = N K_{0}$ est une borne de $A$ , et la démonstration est terminée. ◻

Ce n'est pas un hasard si la dimension $N$ de $𝒱$ intervient dans notre évaluation ; nous avons déjà vu que le théorème n'est pas vrai dans les espaces de dimension infinie.

EXERCICES

Exercice 1.

Montrer que le produit scalaire est une fonction continue (et par conséquent la norme aussi) ; c'est-à-dire si $x_{n} \to x$ et $y_{n} \to y$ , alors $(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)$ .
Toute fonctionnelle linéaire est-elle continue ? Et les formes multilinéaires ?

Exercice 2. On dit qu'une transformation linéaire $A$ sur un espace préhilbertien est bornée inférieurement s'il existe une constante (strictement) positive $K$ telle que $‖ A x ‖ \geq K ‖ x ‖$ pour tout $x$ . Montrer que (sur un espace de dimension finie) $A$ est bornée inférieurement si et seulement si elle est inversible.

Exercice 3. Si une transformation linéaire sur un espace préhilbertien (pas nécessairement de dimension finie) est continue en un point, alors elle est bornée (et par conséquent continue sur tout l'espace).

Exercice 4. Pour chaque entier positif $n$ construire une projection $E_{n}$ (pas une projection perpendiculaire) telle que $‖ E_{n} ‖ \geq n$ .

Exercice 5.

Si $U$ est une isométrie partielle différente de $0$ , alors $‖ U ‖ = 1$ .
Si $U$ est une isométrie, alors $‖ U A ‖ = ‖ A U ‖ = ‖ A ‖$ pour toute transformation linéaire $A$ .

Exercice 6. Si $E$ et $F$ sont des projections perpendiculaires, d'images $ℳ$ et $𝒩$ respectivement, et si $‖ E - F ‖ < 1$ , alors $\dim ℳ = \dim 𝒩$ .

Exercice 7.

Si $A$ est normale, alors $‖ A^{n} ‖ = ‖ A ‖^{n}$ pour tout entier positif $n$ .
Si $A$ est une transformation linéaire sur un espace unitaire de dimension $2$ et si $‖ A^{2} ‖ = ‖ A ‖^{2}$ , alors $A$ est normale.
La conclusion de (b) est-elle vraie pour les transformations sur un espace de dimension $3$ ?