Expressions de la norme

Pour faciliter le travail avec la norme d'une transformation, nous considérons les quatre expressions suivantes : Conformément à notre définition de la notation des accolades, l'expression ${‖ A x ‖ : ‖ x ‖ = 1}$ , par exemple, désigne l'ensemble de tous les nombres réels de la forme $‖ A x ‖$ , considéré pour tous les $x$ tels que $‖ x ‖ = 1$ .

Puisque $‖ A x ‖ \leq K ‖ x ‖$ est trivialement vrai pour tout $K$ si $x = 0$ , la définition du supremum implique que $p = ‖ A ‖$ ; nous allons prouver qu'en fait, $p = q = r = s = ‖ A ‖$ . Puisque le supremum dans l'expression de $q$ est étendu sur un sous-ensemble de l'ensemble correspondant pour $p$ (c'est-à-dire, si $‖ x ‖ = 1$ , alors $‖ A x ‖ / ‖ x ‖ = ‖ A x ‖$ ), on voit que $q \leq p$ ; un argument similaire montre que $s \leq r$ .

Pour tout $x \neq 0$ on considère $y = \frac{x}{‖ x ‖}$ (de sorte que $‖ y ‖ = 1$ ); on a $‖ A x ‖ / ‖ x ‖ = ‖ A y ‖$ . Autrement dit, chaque nombre de l'ensemble dont le supremum est $p$ apparaît aussi dans l'ensemble correspondant pour $q$ ; il s'ensuit que $p \leq q$ , et par conséquent que $p = q = ‖ A ‖$ .

De même, si $x \neq 0$ et $y \neq 0$ , on considère et ; on a et donc, par le même argument, $r \leq s$ , de sorte que $r = s$ .

Pour consolider notre position, on note que jusqu'à présent nous avons prouvé que $p = q = ‖ A ‖ et r = s .$ Puisque $\frac{| (A x, y) |}{‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖} \leq \frac{‖ A x ‖ \cdot ‖ y ‖}{‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖} = \frac{‖ A x ‖}{‖ x ‖},$ il s'ensuit que $r \leq p$ ; nous allons terminer la preuve en montrant que $p \leq r$ . À cette fin, on considère un vecteur quelconque $x$ pour lequel $A x \neq 0$ (de sorte que $x \neq 0$ ); pour un tel $x$ on pose $y = A x$ et on a $‖ A x ‖ / ‖ x ‖ = | (A x, y) | / ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖ .$ Autrement dit, on a prouvé que tout nombre qui apparaît dans l'ensemble définissant $p$ , et qui est différent de zéro, apparaît aussi dans l'ensemble dont $r$ est le supremum; cela implique clairement le résultat souhaité.

La fonction numérique d'une transformation $A$ donnée par $‖ A ‖$ satisfait les quatre conditions suivantes : La preuve des trois premières est immédiate d'après la définition de la norme d'une transformation; pour la preuve de (4) on utilise l'équation $‖ A ‖ = r$ , comme suit. Puisque on voit que $‖ A ‖ \leq ‖ A^{*} ‖$ ; en remplaçant $A$ par $A^{*}$ et $A^{*}$ par $A^{* *} = A$ , on obtient l'inégalité inverse.

EXERCICES

Exercice 1. Si $B$ est inversible, alors $‖ A B ‖ \geq ‖ A ‖ / ‖ B^{- 1} ‖$ pour tout $A$ .

Exercice 2. Est-il vrai pour toute transformation linéaire $A$ que $‖ A^{*} A ‖ = ‖ A A^{*} ‖$ ?

Exercice 3.

Si $A$ est hermitienne et si $α \geq 0$ , alors une condition nécessaire et suffisante pour que $‖ A ‖ \leq α$ est que $- α \leq A \leq α$ .
Si $A$ est hermitienne, si $α \leq A \leq β$ , et si $p$ est un polynôme tel que $p (t) \geq 0$ pour tout $α \leq t \leq β$ , alors $p (A) \geq 0$ .
Si $A$ est hermitienne, si $α \leq A \leq β$ , et si $p$ est un polynôme tel que $p (t) \neq 0$ pour tout $α \leq t \leq β$ , alors $p (A)$ est inversible.