Convergence des vecteurs

Essentiellement, la seule manière dont nous avons, jusqu'à présent, exploité l'existence d'un produit scalaire dans un espace préhilbertien a été d'introduire la notion de transformation normale ainsi que certains cas particuliers importants de celle-ci. Un domaine d'idées bien plus évident est l'étude des problèmes de convergence qui surgissent dans un espace préhilbertien.

Voyons ce que nous pourrions entendre par l'affirmation qu'une suite $(x_n)$ de vecteurs dans $𝒱$ converge vers un vecteur $x$ dans $𝒱$ . Deux possibilités se présentent d'elles-mêmes : Si (i) est vraie, alors on a, pour tout $y$ , $$|(x_n-x,y)|\le \Vert x_n-x\Vert \cdot \Vert y\Vert \to 0,$$ de sorte que (ii) est vraie. Dans un espace de dimension finie l'implication réciproque est valide : (ii) $⟹$ (i). Pour le prouver, soit $\{z_1,\dots ,z_N\}$ une base orthonormale de $𝒱$ . (Souvent dans ce chapitre, nous écrirons $N$ pour la dimension d'un espace vectoriel de dimension finie, afin de réserver $n$ pour la variable muette dans les processus de limite.) Si nous supposons (ii), alors $(x_n-x,z_i)\to 0$ pour chaque $i=1,\dots ,N$ . Puisque ( Section : Complétude , Théorème 2) $$\Vert x_n-x{\Vert }^2=\sum _i|(x_n-x,z_i){|}^2,$$ il s'ensuit que $\Vert x_n-x\Vert \to 0$ , comme il fallait démontrer.

Concernant la convergence des vecteurs (dans l'un ou l'autre des deux sens équivalents), nous utiliserons sans démonstration les faits suivants. (Tous ces faits sont des conséquences faciles de nos définitions et des propriétés de convergence dans le domaine habituel des nombres complexes ; nous supposons que le lecteur possède un minimum de familiarité avec ces notions.) L'expression $\alpha x+\beta y$ définit une fonction continue de tous ses arguments simultanément ; c'est-à-dire, si $({\alpha }_n)$ et $({\beta }_n)$ sont des suites de nombres et $(x_n)$ et $(y_n)$ sont des suites de vecteurs, alors ${\alpha }_n\to \alpha$ , ${\beta }_n\to \beta$ , $x_n\to x$ , et $y_n\to y$ impliquent que ${\alpha }_n{x}_n+{\beta }_n{y}_n\to \alpha x+\beta y$ . Si $\{z_i\}$ est une base orthonormale de $𝒱$ , et si $x_n=\sum _i{\alpha }_{in}{z}_i$ et $x=\sum _i{\alpha }_i{z}_i$ , alors une condition nécessaire et suffisante pour que $x_n\to x$ est que ${\alpha }_{in}\to {\alpha }_i$ (lorsque $n\to \mathrm{\infty }$ ) pour chaque $i=1,\dots ,N$ . (Ainsi la notion de convergence définie ici coïncide avec la notion usuelle dans l'espace de coordonnées réel ou complexe de dimension $N$ .) Enfin, nous admettrons comme connu le fait qu'un espace préhilbertien de dimension finie muni de la métrique définie par la norme est complet ; c'est-à-dire, si $(x_n)$ est une suite de vecteurs telle que $\Vert x_n-x_m\Vert \to 0$ lorsque $n,m\to \mathrm{\infty }$ , alors il existe un vecteur (unique) $x$ tel que $x_n\to x$ lorsque $n\to \mathrm{\infty }$ .