Convergence de transformations linéaires

Nous revenons maintenant à l'examen des problèmes de convergence. Il existe trois sens évidents dans lesquels nous pouvons essayer de définir la convergence d'une suite $(A_{n})$ de transformations linéaires vers une transformation linéaire fixée $A$ .

Si (i) est vraie, alors, pour tout $x$ , de sorte que (i) $⟹$ (ii). Nous avons déjà vu ( Section : Convergence des vecteurs ) que (ii) $⟹$ (iii) et que dans les espaces de dimension finie (iii) $⟹$ (ii). Il est même vrai que dans les espaces de dimension finie (ii) $⟹$ (i), de sorte que les trois conditions sont équivalentes. Pour prouver ceci, soit ${x_{1}, \dots, x_{N}}$ une base orthonormale dans $𝒱$ . Si nous supposons que (ii) est vraie, alors, pour chaque $ϵ > 0$ , nous pouvons trouver un $n_{0} = n_{0} (ϵ)$ tel que $‖ A_{n} x_{i} - A x_{i} ‖ < ϵ$ pour $n \geq n_{0}$ et pour $i = 1, \dots, N$ . Il s'ensuit que pour un $x = \sum_{i} (x, x_{i}) x_{i}$ arbitraire nous avons et ceci implique (i).

Il est aussi facile de prouver que si la norme est utilisée pour définir une distance pour les transformations, alors l'espace métrique résultant est complet, c'est-à-dire que si $‖ A_{n} - A_{m} ‖ \to 0$ lorsque $n, m \to \infty$ , alors il existe un $A$ tel que $‖ A_{n} - A ‖ \to 0$ . La preuve de ce fait se réduit au fait correspondant pour les vecteurs. Si $‖ A_{n} - A_{m} ‖ \to 0$ , alors $‖ A_{n} x - A_{m} x ‖ \to 0$ pour chaque $x$ , de sorte que nous pouvons trouver un vecteur correspondant à $x$ , que nous pouvons noter $A x$ , disons, tel que $‖ A_{n} x - A x ‖ \to 0$ . Il est clair que la correspondance de $x$ vers $A x$ est donnée par une transformation linéaire $A$ ; la relation d'implication (ii) $⟹$ (i) prouvée ci-dessus complète la preuve.

Maintenant que nous savons ce que signifie la convergence pour les transformations linéaires, il nous incombe d'examiner quelques fonctions simples de ces transformations afin de vérifier leur continuité. Nous affirmons que $‖ A ‖$ , $‖ A x ‖$ , $(A x, y)$ , $A x$ , $A + B$ , $α A$ , $A B$ , et $A^{*}$ définissent toutes des fonctions continues de tous leurs arguments simultanément. (Observons que les trois premières sont des fonctions à valeurs numériques, la suivante est à valeurs vectorielles, et les quatre dernières sont à valeurs dans les transformations.) Les preuves de ces énoncés sont toutes assez faciles et similaires les unes aux autres ; pour illustrer les idées, nous discutons $‖ A ‖$ , $A x$ , et $A^{*}$ .

Si $A_{n} \to A$ , c'est-à-dire $‖ A_{n} - A ‖ \to 0$ , alors, puisque les relations $‖ A_{n} ‖ \leq ‖ A_{n} - A ‖ + ‖ A ‖,$ et $‖ A ‖ \leq ‖ A - A_{n} ‖ + ‖ A_{n} ‖$ impliquent que $| ‖ A_{n} ‖ - ‖ A ‖ | \leq ‖ A_{n} - A ‖,$ nous voyons que $‖ A_{n} ‖ \to ‖ A ‖$ .
Si $A_{n} \to A$ et $x_{n} \to x$ , alors $‖ A_{n} x_{n} - A x ‖ \leq ‖ A_{n} x_{n} - A x_{n} ‖ + ‖ A x_{n} - A x ‖ \to 0,$ de sorte que $A_{n} x_{n} \to A x$ .
Si $A_{n} \to A$ , alors, pour chaque $x$ et $y$ , d'où $A_{n}^{*} \to A^{*}$ .

EXERCICES

Exercice 1. Une suite $(A_{n})$ de transformations linéaires converge vers une transformation linéaire $A$ si et seulement si, pour tout système de coordonnées, chaque entrée de la matrice de $A_{n}$ converge, lorsque $n \to \infty$ , vers l'entrée correspondante dans la matrice de $A$ .

Exercice 2. Pour toute transformation linéaire $A$ , il existe une suite $(A_{n})$ de transformations linéaires inversibles telle que $A_{n} \to A$ .

Exercice 3. Si $E$ et $F$ sont des projections perpendiculaires, alors $(E F E)^{n}$ converge, lorsque $n \to \infty$ , vers la projection dont l'image est l'intersection des images de $E$ et $F$ .

Exercice 4. Si $A$ est une transformation linéaire sur un espace unitaire de dimension finie, alors une condition nécessaire et suffisante pour que $A^{n} \to 0$ est que toutes les valeurs propres de $A$ soient (strictement) inférieures à $1$ en valeur absolue.

Exercice 5. Prouver que si $A$ est la matrice $n$ -par- $n$ alors $A^{k}$ converge, lorsque $k \to \infty$ , vers une projection dont l'image est de dimension un ; trouver l'image.

Exercice 6. Prouver que $det$ et $tr$ sont continues.