Bornes d'une transformation auto-adjointe

Comme d’habitude, nous pouvons en dire un peu plus dans le cas particulier des transformations auto-adjointes que dans le cas général. Nous considérons, pour toute transformation auto-adjointe $A$ , les ensembles de nombres réels $$\mathrm{\Phi }=\{(Ax,x)/\Vert x{\Vert }^2:x\ne 0\}$$ et $$\mathrm{\Psi }=\{(Ax,x):\Vert x\Vert =1\}.$$ Il est clair que $\mathrm{\Psi }\subset \mathrm{\Phi }$ . Si, pour tout $x\ne 0$ , nous posons $y=x/\Vert x\Vert$ , alors $\Vert y\Vert =1$ et $(Ax,x)/\Vert x{\Vert }^2=(Ay,y)$ , de sorte que tout nombre de $\mathrm{\Phi }$ apparaît aussi dans $\mathrm{\Psi }$ et par conséquent $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Psi }$ . Nous écrivons et nous disons que $\alpha$ est la borne inférieure et $\beta$ est la borne supérieure de la transformation auto-adjointe $A$ . Si nous rappelons la définition d’une transformation positive, nous voyons que $\alpha$ est le plus grand nombre réel pour lequel $A-\alpha \ge 0$ et $\beta$ est le plus petit nombre réel pour lequel $\beta -A\ge 0$ . Concernant ces nombres, nous affirmons que $$\gamma =max\{|\alpha |,|\beta |\}=\Vert A\Vert .$$ 

La moitié de la preuve est facile. Puisque $$|(Ax,x)|\le \Vert Ax\Vert \cdot \Vert x\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert x{\Vert }^2,$$ il est clair que $|\alpha |$ et $|\beta |$ sont tous deux dominés par $\Vert A\Vert$ . Pour prouver l’inégalité inverse, nous observons que le caractère positif des deux transformations linéaires $\gamma -A$ et $\gamma +A$ implique que les deux expressions $$(\gamma +A{)}^{\ast }(\gamma -A)(\gamma +A)=(\gamma +A)(\gamma -A)(\gamma +A)$$ et $$(\gamma -A{)}^{\ast }(\gamma +A)(\gamma -A)=(\gamma -A)(\gamma +A)(\gamma -A)$$ sont positives, et, par conséquent, leur somme $2\gamma ({\gamma }^2-A^2)$ l’est aussi. Puisque $\gamma =0$ implique $\Vert A\Vert =0$ , l’affirmation est triviale dans ce cas ; dans tout autre cas, nous pouvons diviser par $2$ et obtenir le résultat que ${\gamma }^2-A^2\ge 0$ . En d’autres termes, $${\gamma }^2\Vert x{\Vert }^2={\gamma }^2(x,x)\ge (A^{2}x,x)=\Vert Ax{\Vert }^2,$$ d’où $\gamma \ge \Vert A\Vert$ , et la preuve est complète.

Nous attirons l’attention du lecteur sur le fait que le calcul dans le corps de cette preuve aurait pu être entièrement évité. Puisque $\gamma -A$ et $\gamma +A$ sont positifs, et puisqu’ils commutent, nous pouvons conclure immédiatement ( Section : Fonctions des transformations ) que leur produit ${\gamma }^2-A^2$ est positif. Nous avons présenté la méthode indirecte conformément au principe selon lequel, en vue des généralisations de la théorie, il faut éviter d’utiliser le théorème spectral chaque fois que cela est possible. Notre preuve du fait que la positivité et la commutativité de $A$ et $B$ impliquent la positivité de $AB$ était basée sur l’existence de racines carrées pour les transformations positives. Ce fait, certes, peut être obtenu par des méthodes dites « élémentaires », c’est-à-dire des méthodes n’utilisant pas le théorème spectral, mais même la preuve élémentaire la plus simple comporte des complications purement techniques et, pour nos besoins, pas particulièrement utiles.