Dérivées covariantes

Dérivées covariantes

Compte tenu des champs de tenseur sur une variété, comment définissons-nous des dérivées directionnelles lisses qui transforment correctement sous les changements de coordonnées ? Il s'avère que le dérivé partiel ordinaire d'un champ de tenseur ne se transforme pas comme un tenseur ; c'est-à-dire que c'est une forme peu fiable pour prendre des dérivées de tenseurs car elle dépend du système de coordonnées.

La solution à ce problème vient de l'introduction d'une connexion, qui permet de définir la dérivée covariante d'un champ tensoriel. Une dérivée covariante est une opération qui prend un champ tensoriel de type \((p, q)\) et produit un champ tensoriel de type \((p, q+1)\) .

Nous commençons par la dérivée covariante des formes (champs covariants) le long d'un vecteur. Soit \(\omega = \omega_i dx^i\) une forme différentielle de degré 1, et soit \(X = X^j \frac{\partial}{\partial x^j}\) un champ de vecteurs lisse. On pose \(\nabla_X \omega = (\nabla_X \omega_i) dx^i = (X^j \nabla_j \omega_i) dx^i\) , où \(\nabla_j \omega_i\) est défini à partir de l'équation

\nabla_j \omega_i = \partial_j \omega_i - \Gamma_{ji}^k \omega_k\,\,\,\, \text{(3)}\