Dérivées covariantes

Dérivées covariantes

Compte tenu des champs de tenseur sur une variété, comment définissons-nous des dérivées directionnelles lisses qui transforment correctement sous les changements de coordonnées ? Il s'avère que le dérivé partiel ordinaire d'un champ de tenseur ne se transforme pas comme un tenseur ; c'est-à-dire que c'est une forme peu fiable pour prendre des dérivées de tenseurs car elle dépend du système de coordonnées.

La solution à ce problème vient de l'introduction d'une connexion, qui permet de définir la dérivée covariante d'un champ tensoriel. Une dérivée covariante est une opération qui prend un champ tensoriel de type $(p,q)$ et produit un champ tensoriel de type $(p,q+1)$ .

Nous commençons par la dérivée covariante des formes (champs covariants) le long d'un vecteur. Soit $\omega ={\omega }_{i}d{x}^i$ une forme différentielle de degré 1, et soit $X=X^j\frac{\partial }{\partial x^j}$ un champ de vecteurs lisse. On pose ${\mathrm{\nabla }}_X\omega =({\mathrm{\nabla }}_X{\omega }_i)d{x}^i=(X^j{\mathrm{\nabla }}_j{\omega }_i)d{x}^i$ , où ${\mathrm{\nabla }}_j{\omega }_i$ est défini à partir de l'équation

\[\nabla_j \omega_i = \partial_j \omega_i - \Gamma_{ji}^k \omega_k\,\,\,\, \text{(3)}\\]