Corps

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Dans ce qui suit, nous aurons l'occasion d'utiliser diverses classes de nombres (telles que la classe de tous les nombres réels ou la classe de tous les nombres complexes). Puisque nous ne devrions pas, à ce stade précoce, nous engager à une classe spécifique, nous adoptons l'artifice de désigner les nombres sous le nom de scalaires. Le lecteur ne perdra rien d'essentiel s'il interprète systématiquement les scalaires comme des nombres réels ou comme des nombres complexes; dans les exemples que nous étudierons, les deux classes apparaîtront. Pour être spécifique (et aussi pour opérer au niveau adéquat de généralité), nous dressons la liste de tous les faits généraux sur les scalaires que nous devons supposer.

(A) À chaque paire, \(\alpha\) et \(\beta\), de scalaires correspond un scalaire \(\alpha+\beta\), appelé la somme de \(\alpha\) et \(\beta\), de telle manière que

  1. l'addition est commutative, \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\),
  2. l'addition est associative, \(\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma\),
  3. il existe un scalaire unique \(0\) (appelé zéro) tel que \(\alpha+0=\alpha\) pour tout scalaire \(\alpha\), et
  4. à chaque scalaire \(\alpha\) correspond un scalaire unique \(-\alpha\) tel que \(\alpha+(-\alpha)=0\).

(B) À chaque paire, \(\alpha\) et \(\beta\), de scalaires correspond un scalaire \(\alpha \beta\), appelé le produit de \(\alpha\) et \(\beta\), de telle manière que

  1. la multiplication est commutative, \(\alpha \beta=\beta \alpha\),
  2. la multiplication est associative, \(\alpha(\beta \gamma)=(\alpha \beta) \gamma\),
  3. il existe un scalaire non nul unique \(1\) (appelé un) tel que \(\alpha 1=\alpha\) pour tout scalaire \(\alpha\), et
  4. à chaque scalaire non nul \(\alpha\) correspond un scalaire unique \(\alpha^{-1}\) (ou \(\frac{1}{\alpha}\)) tel que \(\alpha \alpha^{-1}=1\).

(C) La multiplication est distributive par rapport à l'addition, \(\alpha(\beta+\gamma)\) \(=\alpha \beta+\alpha \gamma\).

Si l'addition et la multiplication sont définies au sein d'un ensemble d'objets (scalaires) de telle sorte que les conditions (A), (B) et (C) sont satisfaites, alors cet ensemble (muni des opérations données) est appelé un corps. Ainsi, par exemple, l'ensemble \(\mathbb{Q}\) de tous les nombres rationnels (avec les définitions ordinaires de somme et produit) est un corps, et il en est de même pour l'ensemble \(\mathbb{R}\) de tous les nombres réels et l'ensemble \(\mathbb{C}\) de tous les nombres complexes.