مقدمه‌ای بر بلورشناسی

بلور از تکرار متناوب یک گروه از اتم‌ها در همه جهات تشکیل می‌شود. آن گروه از اتم‌ها پایه نامیده می‌شود.

پایه یک بلور می‌تواند یک یا چند اتم باشد.
یک بلور ایده‌آل از تکرار نامتناهی پایه تشکیل شده است.

شبکه

آرایه نامتناهی از نقاط ریاضی که نحوه تکرار پایه را توصیف می‌کند، یک آرایش فضایی متناوب را تشکیل می‌دهد که شبکه نامیده می‌شود.

شبکه از هر نقطه‌ای که به آرایه نگاه کنید یکسان به نظر می‌رسد.
توجه داشته باشید که شبکه یک بلور نیست.

در سه بعد، شبکه می‌تواند با سه بردار مستقل $𝐚_{1}$ ، $𝐚_{2}$ و $𝐚_{3}$ مشخص شود.
موقعیت هر نقطه $𝐑$ را می‌توان به صورت ترکیب خطی این بردارها نوشت، که در آن $n_{1}$ ، $n_{2}$ و $n_{3}$ اعداد صحیح هستند.
بردارهایی که می‌توانند شبکه را تولید یا پوشش دهند یکتا نیستند. برای مثال، شکل زیر را ببینید.

انتخاب‌های مختلف برای بردارهای پوشش‌دهنده شبکه

به یاد آورید که حجم یک متوازی‌السطوح با محورهای $𝐚_{1}$ ، $𝐚_{2}$ و $𝐚_{3}$ با $| 𝐚_{1} \cdot (𝐚_{2} \times 𝐚_{3}) |$ داده می‌شود.

سلول‌های اولیه در مقابل سلول‌های واحد

سلول اولیه

از میان بردارهایی که معادله (1) را برآورده می‌کنند، آن‌هایی که یک متوازی‌السطوح با کمترین حجم تشکیل می‌دهند، بردارهای انتقال اولیه نامیده می‌شوند و متوازی‌السطوحی که تشکیل می‌دهند به عنوان سلول اولیه شناخته می‌شود.

سلول واحد

برای نمایش بهتر تقارن کل شبکه، گاهی از بردارهای انتقال غیر اولیه برای مشخص کردن شبکه استفاده می‌شود. در این حالت، متوازی‌السطوح سلول واحد نامیده می‌شود.

سلول واحد ممکن است با سلول اولیه یکسان باشد یا نباشد.

سلول اولیه به رنگ خاکستری نشان داده شده است

سلول واحد یک ساختار مکعبی با وجوه مرکزدار

سلول واحد اولیه یک ساختار مکعبی با وجوه مرکزدار. همان‌طور که رسم شده است، بردارهای انتقال اولیه عبارتند از

𝐚_{1} = \frac{a}{2} (\hat{𝐱} + \hat{𝐲}) 𝐚_{2} = \frac{a}{2} (\hat{𝐲} + \hat{𝐳}) 𝐚_{3} = \frac{a}{2} (\hat{𝐱} + \hat{𝐳})

پارامترهای شبکه و کسر تراکم

پارامترهای شبکه

پارامترهای شبکه

طول محورهای سلول واحد (که ثابت‌های شبکه $a$ ، $b$ و $c$ نامیده می‌شوند) و زوایای بین محورها ( $α$ ، $β$ و $γ$ ) سلول واحد را مشخص می‌کنند. ثابت‌های شبکه و سه زاویه بین آن‌ها پارامترهای شبکه نامیده می‌شوند. شکل زیر را ببینید.

کسر تراکم

ما سعی می‌کنیم $N$ کره سخت (که نمی‌توانند تغییر شکل دهند) را بسته‌بندی کنیم.
حجم کل کره‌ها برابر است با $V_{s} = N \frac{4}{3} π R^{3}$
حجمی که این کره‌ها اشغال می‌کنند $V > V_{S}$ (فاصله وجود دارد) $P a c k i n g F r a c t i o n = \frac{N \frac{4}{3} π R^{3}}{V}$

شبکه‌های براوه

آگوست براوه، فیزیکدان فرانسوی، ۱۴ شبکه متمایز را در سه بعد شناسایی کرد.
۵ شبکه براوه در دو بعد وجود دارد (در زیر نشان داده شده است).
در بلورشناسی، همه شبکه‌ها به طور سنتی شبکه‌های براوه یا شبکه‌های انتقال نامیده می‌شوند.

پنج شبکه براوه در دو بعد


مورب	مستطیلی	مستطیلی مرکزدار


مربعی	شش‌گوش (لوزی)

هفت سیستم بلوری

ایزومتریک (یا مکعبی)

$a = b = c$

$α = β = γ = 90^{\circ}$

تتراگونال

$a = b \neq c$

$α = β = γ = 90^{\circ}$

ارتورومبیک

$a \neq b \neq c$

$α = β = γ = 90^{\circ}$

هگزاگونال

$a = b \neq c$

$α = β = 90^{\circ}, γ = 120^{\circ}$

تریکلینیک

$a \neq b \neq c$

$α \neq β \neq γ$

مونوکلینیک

$a \neq b \neq c$

$α = β = 90^{\circ} \neq γ$

رمبوهدرال (یا تریگونال)

$a = b = c$

$α = β = γ < 120^{\circ}, \neq 90^{\circ}$

شبکه‌های مکعبی


اولیه	مرکزدار	وجوه مرکزدار

بلور مکعبی ساده (SC)

مکان تمام نقاط شبکه $𝐑 = a (u \hat{𝐱} + v \hat{𝐲} + w \hat{𝐳}) = a [u v w]$
پولونیم (Po) تنها فلزی است که سلول واحد مکعبی ساده تشکیل می‌دهد.
هر نقطه شبکه توسط ۸ واحد همسایه به اشتراک گذاشته می‌شود
حجم متوسط اشغال شده توسط هر نقطه شبکه $=$
حجم متوسط اشغال شده توسط هر اتم در SC $= Ω_{S C} = \frac{a^{3}}{8 \times \frac{1}{8}} = a^{3}$

بلور مکعبی مرکزدار (BCC)

مکان تمام نقاط شبکه
حجم متوسط اشغال شده توسط هر نقطه شبکه $=$
حجم متوسط اشغال شده توسط هر اتم در BCC $= Ω_{B C C} = \frac{a^{3}}{8 \times \frac{1}{8} + 1} = \frac{a^{3}}{2}$
فاصله نزدیکترین همسایه = $d = 2 r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$
$کسر تراکم = \frac{2 \times \frac{4 π}{3} \times (\frac{a \sqrt{3}}{4})^{3}}{a^{3}} = \frac{π \sqrt{3}}{8} \approx 0.68$

بردارهای انتقال اولیه عبارتند از: $𝐚_{1} = \frac{a}{2} (\hat{𝐱} + \hat{𝐲} - \hat{𝐳})$ $𝐚_{2} = \frac{a}{2} (- \hat{𝐱} + \hat{𝐲} + \hat{𝐳})$ $𝐚_{3} = \frac{a}{2} (\hat{𝐱} - \hat{𝐲} + \hat{𝐳})$

سلول واحد اولیه یک رمبوهدرون با یال $a \frac{\sqrt{3}}{2}$ است
زاویه بین یال‌های مجاور است

تعداد نزدیکترین همسایه‌ها = ۸
تعداد دومین همسایه‌های نزدیک = ۶
فاصله دومین همسایه نزدیک = $a$

برخی عناصر با ساختار BCC

باریم	Ba	کروم	Cr
سزیم	Cs	$α -$ آهن	$α -$ Fe
پتاسیم	K	لیتیم	Li
مولیبدن	Mo	سدیم	Na
نیوبیم	Nb	روبیدیم	Rb
تانتالیم	Ta	تیتانیم	Ti
وانادیم	V	تنگستن	W

بلور مکعبی با وجوه مرکزدار (FCC)

مکان تمام نقاط شبکه
حجم متوسط اشغال شده توسط هر نقطه شبکه $=$
حجم متوسط اشغال شده توسط هر اتم در FCC $= Ω_{F C C} = \frac{a^{3}}{8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2}} = \frac{a^{3}}{4}$
فاصله نزدیکترین همسایه = $d = 2 r = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$کسر تراکم = \frac{4 \times \frac{4 π}{3} \times (\frac{a \sqrt{2}}{4})^{3}}{a^{3}} = \frac{π \sqrt{2}}{6} \approx 0.74$

سلول اولیه در مقابل سلول واحد

بردارهای انتقال اولیه عبارتند از: $𝐚_{1} = \frac{a}{2} (\hat{𝐱} + \hat{𝐲})$ $𝐚_{2} = \frac{a}{2} (\hat{𝐲} + \hat{𝐳})$ $𝐚_{3} = \frac{a}{2} (\hat{𝐱} + \hat{𝐳})$

زاویه بین یال‌های مجاور $60^{\circ}$ است

اتم مرجع قرمز است. نقاط آبی، سبز و نارنجی ۱۲ نزدیکترین همسایه اتم‌های مرجع هستند و نقاط بنفش ۶ اتم همسایه بعدی نزدیک آن هستند.

کسر تراکم $\frac{1}{6} π \sqrt{2} \approx 0.740$
برخی عناصر با ساختار FCC: Ar, Ag, Al, Au, Ca, Ce, $β -$ Co, Cu, Ir, Kr, La, Ne, Ni, Pb, Pd, Pr, Pt, $δ -$ Pu, Rh, Sc, Sr, Th, Xe, Yb

ویژگی‌های ساختار مکعبی

	مکعبی ساده	b.c.c.	f.c.c.
حجم سلول قراردادی	$a^{3}$	$a^{3}$	$a^{3}$
تعداد نقاط شبکه در هر سلول	1	2	4
تعداد نزدیکترین همسایه‌ها (عدد هم‌آرایی)	6	8	12
تعداد دومین نزدیکترین همسایه‌ها	12	6	6
فاصله نزدیکترین همسایه	$a$	$\frac{\sqrt{3}}{2} a \approx 0.866 a$	$\frac{a}{\sqrt{2}} \approx 0.707 a$
فاصله دومین نزدیکترین همسایه	$a \sqrt{2}$	$a$	$a$
کسر انباشتگی	$π / 6 \approx 0.52$	$π \sqrt{3} / 8 \approx 0.68$	$π \sqrt{2} / 6 \approx 0.74$

[111]، [101] و [110] به ترتیب جهت‌های $m$ ، $t$ و $n$ را توصیف می‌کنند.

ساختار بلوری ممکن است با دما تغییر کند

اگر دما تغییر کند، برخی مواد ممکن است دچار تغییر فاز شوند.
برای مثال، در فشار اتمسفری (10⁵ Pa) و زیر 912 درجه سانتی‌گراد، آهن خالص (Fe) ساختار BCC دارد که به نام α-آهن شناخته می‌شود. اگر آهن را بالای 912 درجه سانتی‌گراد گرم کنیم، ساختار آن به FCC تغییر می‌کند که به نام γ-آهن شناخته می‌شود. بالای 1394 درجه سانتی‌گراد، ساختار دوباره به BCC بازمی‌گردد که به نام δ-آهن شناخته می‌شود. شما می‌توانید نمودار فاز آهن خالص را در شکل زیر مشاهده کنید.

ساختار شش‌گوش فشرده (HCP)

30 عنصر به شکل hcp بلورین می‌شوند.
بلور HCP دارای شبکه شش‌گوش و پایه چنداتمی است.
می‌توان آن را به صورت دو شبکه ساده براوه شش‌گوش تودرتو در نظر گرفت که به اندازه $𝐚_{1} / 3 + 𝐚_{2} / 3 + 𝐚_{3} / 2$ جابجا شده‌اند.
که در آن

$𝐚_{1} = a \hat{𝐱}, 𝐚_{2} = \frac{a}{2} \hat{𝐱} + \frac{a \sqrt{3}}{2} \hat{𝐲}, 𝐚_{3} = c \hat{𝐳}$

- حجم متوسط اشغال شده توسط هر نقطه شبکه $Ω_{h e x l a t t i c e} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2} c$
- حجم متوسط اشغال شده توسط هر اتم $Ω_{H C P} = \frac{Ω_{h e x l a t t i c e}}{2}$

مقایسه ساختارهای فشرده

چپ ساختار hcp و راست ساختار fcc است.


hcp	fcc

در این شکل، ساختار چپ hcp و راست fcc است
کسر حجمی = 0.74
تعداد نزدیکترین همسایه‌ها (عدد هم‌آرایی) برای هر دو ساختار hcp و fcc برابر 12 است
اگرچه چینش شش‌گوش فشرده اتم‌های یکسان تنها در صورتی به‌دست می‌آید که $c / a = \sqrt{8 / 3} \approx 1.63$ باشد، اما اصطلاح hcp برای هر ساختاری که قبلاً توصیف شد به‌کار می‌رود.

عناصر با ساختارهای hcp

عنصر	$<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\large&space;c/a" alt="\large c/a" align="absmiddle">$	عنصر	$<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\large&space;c/a" alt="\large c/a" align="absmiddle">$
ایده‌آل	1.63
Be	1.56	Cd	1.89
Ce	1.63	$α$ -Co	1.62
Dy	1.57	Er	1.57
Gd	1.59	He (2K)	1.63
Hf	1.58	Ho	1.57
La	1.62	Lu	1.59
Mg	1.62	Nd	1.61
Os	1.58	Pr	1.61
Re	1.62	Ru	1.59
Tb	1.58	Ti	1.59
Tl	1.60	Tm	1.57
Y	1.57	Zn	1.59

[برگرفته از اشکرافت، مرمین، فیزیک حالت جامد]

بلور الماس

این ساختار کربن در بلور الماس است
می‌توان آن را به صورت دو شبکه fcc درهم‌فرو رفته با جابجایی $\frac{a}{4} (\hat{𝐱} + \hat{𝐲} + \hat{𝐳})$ دید
یا می‌توان آن را به صورت شبکه fcc با پایه دو نقطه‌ای $0$ و $\frac{a}{4} (\hat{𝐱} + \hat{𝐲} + \hat{𝐳})$ تصور کرد.
عدد هم‌آرایی 4 است
کسر انباشتگی $\frac{\sqrt{3}}{16} π \approx 0.34$ است


(الف) پیوند چهاروجهی در ساختار الماس	(ب) ساختار الماس که بر روی یک وجه مکعب تصویر شده است. کسرها ارتفاع بالای قاعده را بر حسب $a$ نشان می‌دهند

ساختار سه‌بعدی الماس

عناصر با ساختار الماس: C (الماس)، Si، Ge، $α$ -Sn (خاکستری)
حجم متوسط اشغال شده توسط هر اتم: $Ω_{D C} = \frac{Ω_{F C C}}{2} = \frac{a^{3}}{8}$

ساختار سدیم کلرید

یون‌های Na $^{+}$ و Cl $^{-}$ در نقاط تناوبی یک ساختار مکعبی ساده قرار می‌گیرند
شبکه fcc است؛ پایه شامل Na $^{+}$ و Cl $^{-}$ است

ساختار NaCl، اتم‌های آبی نمایانگر اتم‌های Na و اتم‌های سبز نمایانگر اتم‌های Cl هستند.

برخی ترکیبات با ساختار سدیم کلرید

LiF	LiCl	LiBr	LiI
NaF	NaCl	NaBr	NaI
RbF	RbCl	RbBr	RbI
CsF
AgF	AgCl	AgBr
MgO	MgS	MgSe
CaO	CaS	CaSe	CaTe
SrO	SrS	SrSe	SrTe
BaO	BaS	BaSe	BaTe

[برگرفته از اشکرافت، مرمین، فیزیک حالت جامد]

ساختار سزیم کلرید

یون‌های Cs $^{+}$ و Cl $^{-}$ به ترتیب در موقعیت $0$ و مرکز جسم $\frac{a}{2} (\hat{𝐱} + \hat{𝐲} + \hat{𝐲})$ قرار دارند.
شبکه مکعبی ساده است؛ پایه شامل Cs $^{+}$ و Cl $^{-}$ است

ساختار CsCl. کره‌های آبی نمایانگر اتم‌های Cl و کره بزرگ قرمز نمایانگر اتم Cs است که بسیار بزرگتر از اتم‌های Cl است.

برخی ترکیبات با ساختار سزیم کلرید:

CsCl	CsBr	CsI
TlCl	TlBr	TlI

شاخص‌های میلر

شاخص‌های میلر برای جهت‌ها در ساختار مکعبی

اغلب لازم است جهت‌ها و صفحات خاصی در بلورها مشخص شوند. برای این منظور، از شاخص‌های میلر استفاده می‌کنیم.
$[h k l]$ بردار جهت $h \hat{𝐱} + k \hat{𝐲} + l \hat{𝐳}$ خطی که از مبدأ عبور می‌کند را نشان می‌دهد.
این اعداد صحیح $h$ ، $k$ و $l$ باید کوچکترین اعدادی باشند که جهت مورد نظر را بدهند. یعنی $[111]$ می‌نویسیم نه $[222]$ .
اگر یک مؤلفه منفی باشد، معمولاً با قرار دادن یک خط روی شاخص متناظر مشخص می‌شود. برای مثال، $[1 \bar{1} 1]$ به جای $[1 - 11]$ نوشته می‌شود.
مختصات در داخل کمان شکسته مانند $⟨ 123 ⟩$ خانواده‌ای از جهت‌ها را نشان می‌دهند که به دلیل اعمال تقارن معادل هستند، مانند [123]، [132]، [321]، [ $\bar{1} 23$ ]، [ $\bar{1} \bar{2} 3$ ] و غیره.

[111]، [101] و [110] به ترتیب جهت‌های $m$ ، $t$ و $n$ را توصیف می‌کنند.

شاخص‌های میلر برای صفحات در ساختار مکعبی

یک صفحه بلوری با شاخص‌های میلر جهت عمود بر صفحه مشخص می‌شود، اما به جای کروشه از پرانتز استفاده می‌کنیم، یعنی ( $h k l$ )


$(100)$	$(110)$	$(111)$

“مختصات درون کروشه یا آکولاد مانند ${100}$ یک خانواده از نرمال‌های صفحه را نشان می‌دهند که به دلیل عملیات تقارن معادل هستند، بسیار شبیه به این‌که کروشه‌های زاویه‌ای یک خانواده از جهات را نشان می‌دهند.”
برای یک سیستم مکعبی، خانواده ${h k l}$ شامل تمام صفحاتی است که از جایگشت‌های اعداد $h$ ، $k$ ، $l$ و منفی‌های آن‌ها به‌دست می‌آیند.
اگر تقارن سیستم پایین‌تر از مکعبی باشد، لزوماً همه صفحات حاصل از جایگشت‌ها متعلق به یک خانواده نیستند. برای مثال، در یک سیستم رمبوهدرال، داریم ${100} = {(100), (\bar{1} 00), (010), (0 \bar{1} 0), (001), (00 \bar{1})}$ ، اما در یک سیستم اورتورومبیک خانواده ${100}$ تنها دو عضو $(100)$ و $(\bar{1} 00)$ دارد.

شاخص‌های میلر برای ساختار hcp

شاخص‌های میلر شامل 4 رقم به جای 3 رقم هستند
$[h k i l]$ یعنی: ${α (h 𝐚_{1} + k 𝐚_{2} + i 𝐚_{3} + l 𝐜) : α \in ℝ}$ و $h + k + i = 0$
جهت‌های امتداد محورهای $𝐚_{1}$ ، $𝐚_{2}$ و $𝐚_{3}$ از نوع $⟨ \bar{1} 2 \bar{1} 0 ⟩$ هستند.
$(h k i l)$ صفحه‌ای است که جهت عمود بر آن $[h k i l]$ است.


تعیین شاخص‌ها برای یک محور دوگانه نوع I - $[2 \overset{―}{11} 0]$	تعیین شاخص‌ها برای یک محور دوگانه نوع II - $[10 \overset{―}{1} 0]$

مطالعه بیشتر

اشکرافت، N.W.، مرمین، N.D.، فیزیک حالت جامد، انتشارات هارکورت کالج، ۱۹۷۶.
دی‌گریف، M.، مک‌هنری، M.E.، ساختار مواد، انتشارات دانشگاه کمبریج، ۲۰۰۷.
کیتل، C.، مقدمه‌ای بر فیزیک حالت جامد، ویرایش هشتم، وایلی، ۲۰۰۴.