شرایط مرزی

۱۵ معادله حاکم الاستیسیته دستگاهی از معادلات دیفرانسیل جزئی را تشکیل می‌دهند که بی‌نهایت جواب دارند. برای یافتن جواب خاصی که متناظر با یک مسئله فیزیکی مشخص است، باید شرایط مرزی را اعمال کنیم که قیود فیزیکی روی سطح جسم الاستیک را مشخص می‌کند.

برای هر نقطه دلخواه روی سطح جسم، یکی از دو نوع شرط باید تجویز شود. فرض کنید جسم ناحیه $\mathrm{\Omega }$ با سطح مرزی $\mathrm{\Gamma }$ را اشغال کند.

۱. شرایط مرزی جابجایی

این شرط، جابجایی نقاط روی سطح را تجویز می‌کند. برای مدل‌سازی بخش‌هایی از جسم که ثابت، مهار شده یا مجبور به حرکت به شیوه‌ای خاص هستند، به کار می‌رود.

اگر بخشی از مرز که با ${\mathrm{\Gamma }}_u$ نمایش داده می‌شود، جابجایی مشخصی داشته باشد، شرط به صورت زیر نوشته می‌شود: $$u_i(x,y,z,t)=u_i^{\ast }$$ که در آن $u_i^{\ast }$ مؤلفه‌های معلوم بردار جابجایی تجویزی روی آن سطح هستند. یک مثال رایج، انتهای گیردار یک تیر یک‌سرگیردار است، که در آن $u_i^{\ast }=0$ می‌باشد.

۲. شرایط مرزی کشش

این شرط، نیروهای وارد بر سطح را تجویز می‌کند. این نیروها با بردار کشش، $𝐭$، که نیرو در واحد سطح است، توصیف می‌شوند. برای مدل‌سازی سطوحی که تحت فشارها، بارهای گسترده یا نیروهای تماسی قرار دارند، به کار می‌رود.

بردار کشش توسط رابطه تنش کوشی به حالت تنش داخلی در سطح مرتبط می‌شود: $$t_i=n_j{\sigma }_{ji}$$ یا $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈.$$ که در آن $n_j$ مؤلفه‌های بردار یکه عمود بر سطح و رو به بیرون هستند و جمع‌زنی روی اندیس تکراری $j$ تلویحاً منظور شده است.

اگر بخشی از مرز که با ${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$ نمایش داده می‌شود، کشش‌های مشخصی داشته باشد، شرط به صورت زیر نوشته می‌شود: $$t_i(x,y,z,t)=n_j{\sigma }_{ji}=t_i^{\ast }$$ یا $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈={𝐭}^{\ast }.$$ که در آن $t_i^{\ast }$ مؤلفه‌های معلوم بردار کشش تجویزی هستند. \"سطح آزاد\" که هیچ نیرویی بر آن وارد نمی‌شود، یک مثال رایج و مهم است که در آن $t_i^{\ast }=0$ می‌باشد.

شرایط مرزی ترکیبی

در بیشتر مسائل مهندسی، شرایط مرزی از نوع ترکیبی هستند. جابجایی‌ها روی یک بخش از سطح (${\mathrm{\Gamma }}_u$) تجویز می‌شوند، در حالی که کشش‌ها روی بخش باقی‌مانده (${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$) تجویز می‌شوند. تمام مرز باید پوشش داده شود و این دو ناحیه باید جدا از هم باشند: $$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_u\cup {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }\text{and}{\mathrm{\Gamma }}_u\cap {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }=\mathrm{\varnothing }$$ مجموع معادلات میدانی حاکم و یک مجموعه کامل از شرایط مرزی، یک مسئله خوش‌طرح را تشکیل می‌دهد که وجود جواب یکتا را تضمین می‌کند.