سطح تسلیم اولیه

مسئله استخراج روابط ریاضی برای پیش‌بینی شرایطی که در آن تسلیم پلاستیک هنگامی که ماده تحت یک حالت تنش پیچیده قرار می‌گیرد شروع می‌شود، یک ملاحظه مهم در زمینه پلاستیسیته است. در بارگذاری تک‌محوره، جریان پلاستیک در تنش تسلیم آغاز می‌شود، و انتظار می‌رود که تسلیم تحت وضعیت تنش‌های ترکیبی به ترکیب خاصی از تنش‌های اصلی مربوط باشد. یک معیار تسلیم می‌تواند به شکل کلی زیر بیان شود

F (σ_{i j}, k_{1}, k_{2}, \dots) = 0.

که در آن $k_{1}$ ، $k_{2}$ ، ... متغیرهایی مانند تنش‌های تسلیم، ثابت‌های الاستیک، دما، نرخ کرنش و پارامترهای سخت‌شوندگی را نشان می‌دهند.

اگر ماده همسانگرد باشد، تنش به‌طور یکتا توسط تنش‌های اصلی تعیین می‌شود. بنابراین، معیار تسلیم می‌تواند به صورت زیر بیان شود

F_{1} (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, k_{1}, \dots) = 0.

معادله فوق یک سطح را در فضای تنش‌های اصلی نشان می‌دهد. چنین سطحی به عنوان سطح تسلیم شناخته می‌شود.

از آنجایی که تنش‌های اصلی می‌توانند بر حسب ناورداهای تنش بیان شوند، معادله فوق می‌تواند به صورت زیر بیان شود

F_{2} (I_{1}, I_{2}, I_{3}) = C,

که در آن C یک ثابت است که تمام متغیرهای مؤثر بر سطح تسلیم را نشان می‌دهد. ما می‌توانیم I₂ و I₃ را بر حسب I₁، J₂ و J₃ بیان کنیم (به اینجا مراجعه کنید). بنابراین، ما

F_{3} (I_{1}, J_{2}, J_{3}) = C .

اگر ماده‌ای مانند بیشتر فلزات نسبت به فشار هیدرواستاتیک متوسط حساس نباشد، معیار تسلیم آن باید مستقل از $I_{1}$ باشد. بنابراین، معیار تسلیم می‌تواند به صورت زیر نوشته شود

F_{4} (J_{2}, J_{3}) = C .

اگر بخواهیم سطح تسلیم نسبت به تغییر جهت بارگذاری حساس نباشد؛ یعنی اگر $σ_{i j}$ روی سطح تسلیم باشد، $- σ_{i j}$ نیز روی آن باقی بماند، آنگاه معیار تسلیم باید به شکل زیر باشد

f (J_{2}, J_{3}^{2}) = C .

توجه داشته باشید که هیچ روش نظری برای محاسبه رابطه بین مؤلفه‌های تنش برای همبستگی تسلیم در یک حالت تنش سه‌بعدی با تسلیم در آزمایش کشش تک‌محوره وجود ندارد. بنابراین معیارهای تسلیم اساساً روابط تجربی هستند.