Hydrostatic and Deviator Components of Stress

آزمایش‌ها نشان می‌دهند که مواد می‌توانند فشارهای هیدرواستاتیک بسیار بزرگ (حالت تنش کروی) را بدون تغییر شکل پلاستیک تحمل کنند.^[1] در بسیاری از مسائل، به‌ویژه در تئوری پلاستیسیته، مطلوب است بخشی از تنش کل که می‌تواند در ایجاد تغییر شکل پلاستیک مؤثر باشد مشخص گردد. این بخش به عنوان انحراف‌دهنده تنش شناخته می‌شود. مؤلفه دیگر، مؤلفه هیدرواستاتیک تنش $σ_{m}$ است.

بنابراین در تئوری پلاستیسیته، جداسازی ریاضی حالت تنش کل به دو مؤلفه ضروری است:

مؤلفه‌ای که سعی در تغییر حجم دارد.
مؤلفه‌ای که باعث تغییر شکل (اعوجاج) می‌شود و مسئول تغییر شکل پلاستیک است.

مؤلفه‌ای که باعث تغییر شکل می‌شود به عنوان تنش انحرافی (یا انحراف‌دهنده تنش) شناخته می‌شود و با (یا گاهی با $s_{i j}$ ) نمایش داده می‌شود. مؤلفه‌ای که باعث تغییر حجم می‌شود تنش هیدرواستاتیک است و با $σ_{m}$ نمایش داده می‌شود.

تنش میانگین یا هیدرواستاتیک، $σ_{m}$ ، میانگین تنش‌های نرمال یا میانگین سه تنش اصلی است ( $p$ فشار نرمال میانگین است).

تنش انحرافی آن چیزی است که پس از کم کردن مؤلفه هیدرواستاتیک از تنش کل باقی می‌ماند:

یا

که در آن $𝐈$ تانسور (ماتریس) واحد 3x3 است و $δ_{i j}$ دلتای کرونکر می‌باشد:

توجه: عناصر خارج از قطر انحراف‌دهنده تنش با عناصر متناظر تانسور تنش یکسان هستند. یعنی

مؤلفه‌های اصلی تانسور تنش انحرافی به صورت زیر داده می‌شوند:

از این تعاریف می‌توان به‌سادگی نشان داد که مجموع تنش‌های انحرافی اصلی همواره صفر است:

ناورداهای انحراف‌دهنده تنش

هنگامی که انحراف‌دهنده تنش در یک دستگاه مختصات دلخواه ( $x, y, z$ ) بیان می‌شود، مقادیر اصلی آن را می‌توان به‌عنوان ریشه‌های معادله مکعبی زیر یافت:

ضرایب $J_{2}$ و $J_{3}$ ناورداهای دوم و سوم انحراف‌دهنده تنش هستند. آن‌ها به این دلیل "ناوردا" نامیده می‌شوند که مقادیرشان مستقل از دستگاه مختصاتی است که برای توصیف حالت تنش به کار می‌رود. این کمیت‌ها در تئوری ریاضی پلاستیسیته بنیادی هستند.

ناورداها را می‌توان از مؤلفه‌های تانسور تنش به صورت زیر محاسبه کرد:

ناوردای اول، $J_{1}$ :

ناوردای دوم، $J_{2}$ :

ناوردای سوم، $J_{3}$ :

همچنین می‌توان نشان داد که^[2]

J_{2} = - \frac{1}{3} I_{1}^{2} + I_{2}

J_{3} = I_{3} - \frac{1}{3} I_{1} I_{2} + \frac{3}{27} I_{1}^{3},

که در آن $I_{1}$ ، $I_{2}$ ، و $I_{3}$ به ترتیب ناورداهای اول، دوم و سوم تانسور تنش هستند.

انحراف‌دهنده کرنش

مشابه روشی که انحراف‌دهنده تنش را تعریف کردیم، می‌توانیم کرنش انحرافی (یا انحراف‌دهنده کرنش) را تعریف کنیم. یعنی با کم کردن کرنش میانگین از تانسور کرنش $ϵ_{i j}$ ، انحراف‌دهنده کرنش را به‌دست می‌آوریم:

یا

اگر ماده همسانگرد باشد و از قانون هوک پیروی کند، داریم

که در آن $G$ مدول برشی است.