اصل کار مجازی در روش اجزاء محدود

۱. مفهوم بنیادی

روش المان محدود (FEM) اساساً کاربردی از اصل کار مجازی است. بیایید ببینیم این اصل چه می‌گوید.

تغییر مکان مجازی

یک میدان تغییر مکان مجازی $δ 𝐮$ را در جسم در نظر بگیرید. تغییر مکان مجازی دلخواه است^۱ جز اینکه باید با قیود مرزی سازگار باشد؛ یعنی هرجا که تغییر مکان روی مرز تجویز شده باشد، صفر است.

کار مجازی خارجی (EVW)

کار مجازی خارجی (EVW) کاری است که توسط کشش‌های واقعی و نیروهای حجمی انجام می‌شود و به صورت زیر داده می‌شود: $E V W = \int_{Γ_{t}} 𝐭 \cdot δ 𝐮 d S + \int_{Ω} 𝐛 \cdot δ 𝐮 d V$ انتگرال اول روی بخشی از مرز جسم (𝛤_t) است که کشش بر آن تجویز شده است. انتگرال دوم روی حجم (Ω) جسم است.

اگر نیروهای حجمی قابل صرف‌نظر باشند و فقط نیروهای متمرکز P در گره‌های مشخصی عمل کنند (یا اگر کشش‌های توزیع‌شده به نیروهای گرهی معادل تبدیل شوند، چنانکه بعداً توضیح داده خواهد شد)، آنگاه کار مجازی خارجی به صورت زیر کاهش می‌یابد: $V W_{E} = δ 𝐪^{𝖳} 𝐏$ که در آن:

P بردار بارهای خارجی واقعی (نیروها) اعمال‌شده به گره‌های سازه است.
$δ 𝐪$ بردار تغییر مکان‌های خارجی مجازی در گره‌های متناظر است.

کار مجازی داخلی (IVW)

کار مجازی داخلی انتگرال حاصل‌ضرب تنش داخلی واقعی، σ، و کرنش مجازی، $δ 𝝐$ ، روی حجم (Ω) جسم است.

$I V W = \int_{Ω} δ 𝝐^{𝖳} 𝝈 d V$ که در آن:

$δ 𝝐$ کرنش مجازی ناشی از تغییر مکان مجازی $δ 𝐮$ است. $δ 𝝐 = [\begin{matrix} δ ϵ_{x x} \\ δ ϵ_{y y} \\ δ ϵ_{z z} \\ δ γ_{z x} \\ δ γ_{z y} \\ δ γ_{x y} \end{matrix}]$
σ تنش داخلی واقعی ناشی از بار خارجی واقعی P است. $𝝈 = [\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{z z} \\ σ_{z x} \\ σ_{z y} \\ σ_{x y} \end{matrix}]$

اگر ماده کشسان خطی باشد، آنگاه با استفاده از رابطه ساختاری (قانون هوک برای ماده کشسان خطی)، می‌توانیم تنش را بر حسب کرنش بیان کنیم:

ε کرنش واقعی متناظر با تنش واقعی σ است.
E ماتریس کشسانی ماده است (شامل خواصی مانند مدول یانگ و نسبت پواسون). برای مثال، در یک مسئله کرنش مسطح: $𝐄 = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & ν & 0 \\ ν & 1 - ν & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - 2 ν}{2} \end{matrix}]$ با جایگذاری قانون ساختاری در عبارت IVW داریم: $I V W = \int_{Ω} δ 𝝐^{𝖳} 𝐄 𝝐 d V$

اصل کار مجازی

اصل کار مجازی بیان می‌کند که جسم در تعادل است اگر و تنها اگر کار مجازی خارجی (EVM) برابر با کار مجازی داخلی (IVE) برای هر میدان تغییر مکان مجازی قابل قبول باشد. $E V W = I V W$ یا $δ 𝐪^{T} 𝐏 = \int_{Ω} δ 𝝐^{𝖳} 𝝈 d V$ ما قبلاً این اصل را اثبات کردیم.

۲. ماتریس کرنش-تغییر مکان (B)

یک مفهوم اصلی در FEM مربوط کردن میدان کرنش پیوسته درون یک المان به تغییر مکان‌های گرهی گسسته آن، q، است. این کار از طریق ماتریس کرنش-تغییر مکان، B، انجام می‌شود.

ماتریس B از مشتقات توابع شکل المان مشتق می‌شود که بعداً بحث خواهد شد، و در حالت کلی تابعی از مختصات x = (x, y, z) درون المان است. برای تأکید، می‌توانیم بنویسیم: $𝝐 (𝐱) = 𝐁 (𝐱) 𝐪$

به طور مشابه، کرنش مجازی به تغییر مکان‌های گرهی مجازی مربوط می‌شود:

$δ 𝝐 (𝐱) = 𝐁 (𝐱) δ 𝐪$

با جایگذاری این روابط در معادله IVW، می‌توانیم کار مجازی داخلی را کاملاً بر حسب تغییر مکان‌های گرهی بیان کنیم:

۳. استخراج ماتریس سختی المان (K)

با برابر قرار دادن عبارات کار مجازی خارجی و داخلی:

$δ 𝐪^{𝖳} 𝐏 = δ 𝐪^{𝖳} (\int_{Ω} 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 d V) 𝐪$

از آنجا که این معادله باید برای هر تغییر مکان مجازی دلخواه $δ 𝐪$ برقرار باشد، می‌توانیم جمله $δ 𝐪^{T}$ را از دو طرف حذف کنیم، که رابطه بنیادی برای یک المان محدود را به دست می‌دهد:

که در آن K یک ماتریس مربعی به نام ماتریس سختی است، که به صورت زیر تعریف می‌شود:

این انتگرال قلب فرمول‌بندی المان محدود برای مسائل استاتیکی خطی است. این انتگرال خواص هندسی و ماده را به ماتریسی تبدیل می‌کند که نیروهای گرهی را به تغییر مکان‌های گرهی مرتبط می‌سازد.

میدان تغییر مکان مجازی برخلاف آنچه اغلب گفته می‌شود، لزومی ندارد بی‌نهایت کوچک باشد.↩︎