The Assembly Process: The Method of Direct Superposition

ماتریس سختی کل سازه (ماتریس سختی «سراسری») از ترکیب ماتریس‌های سختی هر المان منفرد تشکیل می‌شود. این فرایند هم‌گذاری نامیده می‌شود. ایده اصلی این است که سختی کل در هر درجه آزادی برابر با مجموع مشارکت‌های سختی تمام المان‌های متصل به آن درجه آزادی است.

می‌توانیم این را به طور شهودی با در نظر گرفتن یک سیستم ساده متشکل از دو فنر سری درک کنیم.

مثال: دو فنر سری

سیستمی با سه گره و دو فنر که آن‌ها را به هم متصل می‌کنند، مطابق شکل زیر در نظر بگیرید. سه جابجایی گرهی (درجه آزادی) q₁, q₂, q₃ و سه نیروی گرهی متناظر F₁, F₂, F₃ وجود دارد.

گام ۱: تعریف ماتریس‌های سختی المان ما ابتدا رابطه سختی را برای هر فنر (المان) به طور جداگانه می‌نویسیم. هر فنر یک المان یک‌بعدی با دو گره است.

برای فنر ۱ (سختی k₁): نیروهای محلی f₁⁽¹⁾ و f₂⁽¹⁾ به جابجایی‌های محلی q₁⁽¹⁾ و q₂⁽¹⁾ مرتبط می‌شوند. $[\begin{matrix} f_{1}^{(1)} \\ f_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} \\ - k_{1} & k_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(1)} \\ q_{2}^{(1)} \end{matrix}]$
برای فنر ۲ (سختی k₂): به همین ترتیب، برای فنر دوم: $[\begin{matrix} f_{1}^{(2)} \\ f_{2}^{(2)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{2} & - k_{2} \\ - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(2)} \\ q_{2}^{(2)} \end{matrix}]$

گام ۲: برقراری سازگاری و تعادل ما المان‌های منفرد را با اعمال دو شرط به هم متصل می‌کنیم:

سازگاری جابجایی: ما جابجایی‌های گرهی محلی المان را به جابجایی‌های گرهی سراسری سازه مرتبط می‌کنیم.
- q₁⁽¹⁾ = q₁
- q₂⁽¹⁾ = q₂ و q₁⁽²⁾ = q₂ (گره میانی مشترک است)
- q₂⁽²⁾ = q₃
تعادل نیرو: نیروی خارجی در هر گره سراسری باید برابر با مجموع نیروهای داخلی تمام المان‌های متصل به آن گره باشد.
- F₁ = f₁⁽¹⁾
- F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ (نیرو در گره میانی برابر با مجموع نیروهای هر دو فنر است)
- F₃ = f₂⁽²⁾

گام ۳: اسمبلی ماتریس سختی سراسری اکنون سیستم سراسری F = Kq را با جایگزینی معادلات المان در معادلات تعادل می‌سازیم.

ردیف ۱ (نیروی F₁): F₁ = f₁⁽¹⁾ = k₁q₁⁽¹⁾ - k₁q₂⁽¹⁾ = k₁q₁ - k₁q₂
ردیف ۲ (نیروی F₂): این گام کلیدی است که برهم‌نهی را نشان می‌دهد. F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ = (-k₁q₁⁽¹⁾ + k₁q₂⁽¹⁾) + (k₂q₁⁽²⁾ - k₂q₂⁽²⁾) با جایگذاری جابجایی‌های سراسری: F₂ = (-k₁q₁ + k₁q₂) + (k₂q₂ - k₂q₃) = -k₁q₁ + (k₁ + k₂)q₂ - k₂q₃
ردیف ۳ (نیروی F₃): F₃ = f₂⁽²⁾ = -k₂q₁⁽²⁾ + k₂q₂⁽²⁾ = -k₂q₂ + k₂q₃

نوشتن این سه معادله به فرم ماتریسی، ماتریس سختی سراسری اسمبل شده را برای کل سازه به ما می‌دهد:

$[\begin{matrix} F_{1} \\ F_{2} \\ F_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} & 0 \\ - k_{1} & k_{1} + k_{2} & - k_{2} \\ 0 & - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}]$

توجه کنید که جمله K₂₂ (k₁ + k₂) برابر با مجموع سختی‌های دو المان متصل به آن درجه آزادی است. این «برهم‌نهی مستقیم» جوهره فرایند اسمبلی در روش المان محدود است.