Equivalent Nodal Forces

هنگام استخراج فرمول‌بندی، IVW = EVW، به سادگی فرض کردیم که فقط نیروهای گرهی وجود دارند و به همین دلیل EVW = $\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$. حال فرض کنید که نیروهای حجمی و کشش سطحی وجود دارند.

فرض کنید $𝐛$: نیروی حجمی بر واحد جرم، $\overline{𝐭}$: نیروی مرزی تجویز شده یا کشش سطحی بر واحد سطح. (در اینجا از یک خط روی بردار کشش استفاده کرده‌ام تا نشان دهم که یک بردار تجویزی است)

سپس $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\overline{𝐭}\cdot \delta 𝐮dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ که می‌توان آن را به صورت $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho \delta {𝐮}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\delta {𝐮}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ نوشت. با این حال، $$\delta 𝐮=𝐍\delta 𝐪$$ یا $$\{u\}=[N]\{\delta q\}$$ بنابراین،

با برابر قرار دادن EVW = IVW داریم: $$𝐊𝐪=𝐅$$ که در آن $$𝐊={\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV$$ و $$𝐅={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho {𝐍}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{\mathrm{\Gamma }}{𝐍}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+𝐏$$

مثال: اگر تیر به صورت شکل زیر بارگذاری شده باشد،

آنگاه $$\overline{t}(x)=-\frac{w}{L}x$$ و نیروهای گرهی تعمیم‌یافته معادل عبارت‌اند از: $$P_1={\int }_0^L{N}_1(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{3wL}{20}$$ $$M_1={\int }_0^L{N}_2(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{w{L}^2}{30}$$ $$P_2={\int }_0^L{N}_3(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{7wL}{20}$$ $$M_2={\int }_0^L{N}_4(x)\overline{t}(x)dx=\frac{w{L}^2}{20}$$ که در آن