قانون هوک تعمیمیافته

در الاستیسیته کلاسیک، فرض می‌شود که تنش در هر نقطه تنها به مؤلفه‌های کرنش الاستیک در همان نقطه بستگی دارد.¹ به عبارت دیگر، نظریه موضعی است — پاسخ مکانیکی در یک نقطه صرفاً توسط حالت تغییر شکل در آنجا تعیین می‌شود: $σ_{i j} = F_{i j} (ϵ_{11}, ϵ_{22}, \dots, ϵ_{12}) (i, j = 1, 2, 3)$ علاوه بر این، فرض می‌کنیم که اگر تمام مؤلفه‌های کرنش صفر باشند (مگر اینکه تنش‌های پسماند وجود داشته باشند)، تنشی وجود ندارد.

تانسورهای سفتی و نرمی

با بسط $F_{i j}$ به صورت سری توانی: یا به صورت فشرده‌تر: $σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} ϵ_{k l} .$ که در آن $C_{i j k l}$ تانسور سفتی، تانسور ثابت‌های الاستیک یا مدول‌های الاستیک ماده نامیده می‌شود.²

به طور کلی، $C_{i j k l} = C_{i j k l} (𝐱)$ ؛ یعنی ضرایب الاستیک از نقطه‌ای به نقطه دیگر تغییر می‌کنند. اگر $C_{i j k l}$ مستقل از مکان باشد، می‌گوییم ماده همگن است.

دستگاه معادلات خطی در (*) را می‌توان برای $ϵ_{11}$ ، $ϵ_{12}$ ، …، $ϵ_{33}$ حل کرد و می‌توانیم آنها را بر حسب $σ_{11}$ ، $σ_{12}$ ، …، $σ_{33}$ بیان کنیم. نتیجه یک دستگاه معادلات خطی دیگر خواهد بود: یا به صورت فشرده‌تر: $ϵ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} S_{i j k l} σ_{k l} .$ در اینجا با تانسور مرتبه چهار دیگری به نام S_ijkl سروکار داریم که تانسور نرمی نامیده می‌شود.

از آنجا که $i, j, k$ ، و $l$ هر یک بین ۱، ۲ و ۳ تغییر می‌کنند، $C_{i j k l}$ (یا $S_{i j k l}$ ) دارای ۸۱ مؤلفه است. با این حال، همه آنها مستقل نیستند. با استفاده از برخی تقارن‌ها می‌توان تعداد مؤلفه‌های مستقل را کاهش داد. در این بخش خواهیم دید که اگر ماده همسانگرد باشد، به این معنی که خواص آن در همه جهات یکسان باشد، تنها دو مدول الاستیک برای تعیین تمام مؤلفه‌های سفتی کافی هستند.

نخستین چیزی که می‌توانیم برای کاهش تعداد مؤلفه‌های مستقل از آن استفاده کنیم، تقارن تنش و کرنش است. تقارن تنش $σ_{i j} = σ_{j i}$ نشان می‌دهد که نسبت به دو اندیس اول متقارن است: $C_{i j k l} = C_{j i k l} .$ به طور مشابه، تقارن کرنش $ϵ_{k l} = ϵ_{l k}$ نشان می‌دهد که $C_{i j k l}$ نسبت به دو اندیس آخر متقارن است: $C_{i j k l} = C_{i j l k} .$ از آنجا که هر جفت $(i j)$ و $(k l)$ می‌تواند شش مقدار مختلف (۱،۱)، (۲،۲)، (۳،۳)، (۱،۲) = (۲،۱)، (۱،۳) = (۳،۱)، (۲،۳) = (۳،۲) اختیار کند، حداکثر ۳۶ ثابت الاستیک مختلف وجود دارد.

علامت‌گذاری وویگت

استفاده از علامت‌گذاری دوگانه (مثلاً σᵢⱼ) و کار با تانسور مرتبه چهارم C_ijkl دشوار است. بنابراین، علامت‌گذاری وویگت را برای ساده‌سازی نمایش تنش و کرنش معرفی می‌کنیم.

مؤلفه‌های تانسور تنش در یک بردار ستونی ۶×۱ مرتب می‌شوند: $[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{3} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}]$ یعنی آنها را مطابق زیر شماره‌گذاری می‌کنیم: $[\begin{matrix} ① & ⑥ & ⑤ \\ ② & ④ \\ ③ \end{matrix}]$ به طور مشابه، مؤلفه‌های متناظر کرنش در یک بردار ۶×۱ مرتب می‌شوند. به ضرایب ۲ برای کرنش‌های برشی توجه کنید که برای اطمینان از مزدوج‌سازی کار بین بردارهای تنش و کرنش معرفی شده‌اند.

$[\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ 2 ϵ_{23} \\ 2 ϵ_{13} \\ 2 ϵ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \\ ϵ_{4} \\ ϵ_{5} \\ ϵ_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ γ_{23} \\ γ_{13} \\ γ_{12} \end{matrix}]$

توجه: مقادیر σ₁، σ₂، σ₃ و ε₁، ε₂، ε₃ را با مقادیر اصلی تنش‌ها و کرنش‌ها اشتباه نگیرید. در اینجا، ما از آنها با معنایی کاملاً متفاوت استفاده می‌کنیم.

ماتریس ضرایب الاستیک

با استفاده از علامت‌گذاری وویگت، رابطه خطی بین تنش و کرنش را می‌توان با استفاده از یک ماتریس [c_mn] نوشت:

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} & c_{16} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} & c_{26} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{61} & \dots & c_{66} \end{matrix}] [\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ γ_{23} \\ γ_{13} \\ γ_{12} \end{matrix}]$

از مطالب بالا مشخص است که برای بیان تنش بر حسب کرنش، به ۳۶ ثابت مستقل در ماتریس سفتی [c] نیاز داریم.

توجه: در حالی که Cᵢⱼₖₗ یک تانسور مرتبه چهارم است، ماتریس ۶×۶ cₘₙ در علامت‌گذاری وویگت یک تانسور نیست. بنابراین، نمی‌توانیم از قواعد تبدیل تانسوری برای یافتن مؤلفه‌های آن در یک دستگاه مختصات جدید استفاده کنیم. ابتدا باید مؤلفه‌های تنش و کرنش را تبدیل کرده و سپس ماتریس سفتی جدید را استنتاج کنیم.

انرژی کرنش

قبلاً نشان دادیم که چگالی انرژی کرنش، U₀، به صورت زیر داده می‌شود اگر تابع چگالی انرژی کرنش وجود داشته باشد، می‌توانیم تنش را به صورت: $σ_{i j} = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{i j}}$ بیان کنیم. با استفاده از علامت‌گذاری وویگت می‌توانیم چگالی انرژی کرنش را به صورت $d U_{0} = σ_{1} d ϵ_{1} + σ_{2} d ϵ_{2} + σ_{3} d ϵ_{3} + σ_{4} d ϵ_{4} + \dots + σ_{6} d ϵ_{6}$ و $σ_{i} = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{i}}$ بنویسیم. اگر ماده الاستیک خطی باشد، $σ_{i} = \sum_{j = 1}^{6} c_{i j} ϵ_{j}$ داریم. با جایگذاری این عبارت در dU₀: $d U_{0} = \sum_{i = 1}^{6} σ_{i} d ϵ_{i} = \sum_{i = 1}^{6} \sum_{k = 1}^{6} c_{i k} ϵ_{k} d ϵ_{i}$ با انتگرال‌گیری از این عبارت، چگالی انرژی کرنش به دست می‌آید: $U_{0} = \sum_{i = 1}^{6} \sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2} c_{i k} ϵ_{k} ϵ_{i}$ با مشتق‌گیری جزئی دو بار، می‌یابیم: $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{i} \partial ϵ_{j}} = \frac{\partial}{\partial ϵ_{i}} (\frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{j}}) = \frac{\partial σ_{j}}{\partial ϵ_{i}} = c_{j i}$ $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{j} \partial ϵ_{i}} = \frac{\partial σ_{i}}{\partial ϵ_{j}} = c_{i j}$ از آنجا که ترتیب مشتق‌گیری برای یک تابع³ اهمیتی ندارد: $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{i} \partial ϵ_{j}} = \frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{j} \partial ϵ_{i}}$ باید داشته باشیم:⁴ $c_{j i} = c_{i j}$ این بدان معناست که ماتریس سفتی [c] باید متقارن باشد. این تقارن تعداد ثابت‌های الاستیک مختلف را به ۲۱ (۶ عنصر قطری + ۱۵ عنصر بالای قطری) کاهش می‌دهد.

اثر تقارن ماده

تعداد ثابت‌های الاستیک مستقل (۲۱ برای کلی‌ترین حالت ناهمسانگرد) می‌تواند کاهش یابد اگر ساختار ماده نوعی تقارن داشته باشد.

ماده با یک صفحه تقارن

فرض کنید ماده یک صفحه تقارن ماده‌ای در z=0 (صفحه xy) داشته باشد. این بدان معناست که پاسخ ماده اگر دستگاه مختصات را نسبت به این صفحه بازتاب دهیم یکسان است. بیایید یک دستگاه مختصات جدید (x’، y’، z’) به طوری که: تعریف کنیم. در دستگاه مختصات جدید، به دلیل تقارن ماده، ضرایب الاستیک بدون تغییر می‌مانند، اما تحت این تبدیل، مؤلفه‌های تنش و کرنش به صورت زیر تغییر می‌کنند: رابطه ساختاری برای σₓₓ باید در هر دو دستگاه مختصات یکسان باشد. در دستگاه اصلی: $σ_{x x} = c_{11} ϵ_{x x} + c_{12} ϵ_{y y} + c_{13} ϵ_{z z} + c_{14} γ_{y z} + c_{15} γ_{x z} + c_{16} γ_{x y}$ در دستگاه جدید: با جایگذاری مؤلفه‌های تبدیل‌یافته: $σ_{x x} = c_{11} ϵ_{x x} + c_{12} ϵ_{y y} + c_{13} ϵ_{z z} - c_{14} γ_{y z} - c_{15} γ_{x z} + c_{16} γ_{x y}$ برای اینکه دو معادله برای تمام کرنش‌های ممکن یکسان باشند، باید داشته باشیم: $c_{14} = - c_{14} ⟹ c_{14} = 0$ $c_{15} = - c_{15} ⟹ c_{15} = 0$ با اعمال همین منطق برای سایر مؤلفه‌های تنش، می‌یابیم که c₂₄ = c₂₅ = c₃₄ = c₃₅ = c₄₆ = c₅₆ = 0. ماتریس الاستیک به صورت زیر ساده می‌شود: $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & c_{16} \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & c_{26} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & c_{36} \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & c_{45} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{45} & c_{55} & 0 \\ c_{16} & c_{26} & c_{36} & 0 & 0 & c_{66} \end{matrix}]$ این امر تعداد ثابت‌های الاستیک مورد نیاز برای مشخص کردن تانسور سفتی را به ۱۳ کاهش می‌دهد.

ماده ارتوتروپیک

یک ماده ارتوتروپیک دارای سه صفحه تقارن متقابلاً عمود و سه محور متعامد متناظر است. بسیاری از مواد مانند چوب، ورق فلز نورد شده، و چندلایه‌های تقویت‌شده با الیاف، بتن مسلح را می‌توان به عنوان مواد ارتوتروپیک در نظر گرفت.

اگر محورهای مختصات خود را با نرمال‌های این صفحات هم‌راستا کنیم، ماتریس بیشتر ساده می‌شود. اعمال یک صفحه تقارن دوم (مثلاً صفحه xz) ضرایب اضافی را صفر خواهد کرد. ماتریس حاصل برای یک ماده ارتوتروپیک عبارت است از: $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & 0 \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66} \end{matrix}]$ تعداد ثابت‌های مستقل اکنون ۹ است.

ماده مکعبی

یک ماده مکعبی تقارن یک مکعب را دارد. علاوه بر ارتوتروپیک بودن، خواص آن در صورت جابجایی محورهای مختصات (مثلاً x → y، y → z، z → x) یکسان می‌مانند. این محدودیت‌های بیشتری اعمال می‌کند: ماتریس ثابت‌های الاستیک برای یک ماده مکعبی تنها ۳ ثابت مستقل دارد: $c_{11}, c_{12}$ و $c_{44}$ : $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} \end{matrix}]$ بسیاری از مواد از جمله آنهایی که ساختار FCC، BCC و الماس مکعبی دارند، تقارن مکعبی دارند. نمونه‌هایی از این مواد عبارتند از آلومینیوم، مس، نیکل، نقره، طلا، آهن، سیلیکون، ژرمانیوم.

مثال ۱.

مثال:⁵ هر دو عنصر سیلیکون (Si) و ژرمانیوم (Ge) بلورهایی با سلول واحد مکعبی هستند. طول لبه سلول واحد Si برابر $a_{Si} = 5.428$ Å و طول لبه Ge برابر $a_{Ge} = 5.658$ Å است. یک فیلم ژرمانیوم به ضخامت ۱۰ نانومتر به صورت اپیتاکسیال (یعنی با تطابق موقعیت‌های اتمی) روی سطح یک زیرلایه سیلیکون به ضخامت ۱۰۰ میکرومتر رشد داده می‌شود. مؤلفه‌های تنش و کرنش را در فیلم Ge محاسبه کنید.

ثابت‌های الاستیک مربوطه بر حسب GPa به صورت زیر هستند:

Si: $c_{11} = 165.8$ ، $c_{12} = 63.9$ ، $c_{44} = 79.6$ .
Ge: $c_{11} = 128.5$ ، $c_{12} = 48.2$ ، $c_{44} = 66.7$ .

راه‌حل

مسئله یک فیلم نازک ژرمانیوم را توصیف می‌کند که روی یک زیرلایه بسیار ضخیم‌تر سیلیکون رشد داده می‌شود. این پیکربندی در صنعت نیمه‌هادی رایج است.

رشد اپیتاکسیال: این بدان معناست که شبکه بلوری فیلم Ge مجبور است با شبکه بلوری زیرلایه Si در سطح مشترک هم‌راستا شود.
فرض زیرلایه ضخیم: از آنجا که زیرلایه Si (۱۰۰ میکرومتر) بسیار ضخیم‌تر از فیلم Ge (۱۰ نانومتر) است، می‌توانیم فرض کنیم زیرلایه یک قالب صلب است. این زیرلایه به دلیل حضور فیلم نازک خم نمی‌شود یا کرنش برنمی‌دارد. فیلم باید تمام تغییر شکل را انجام دهد.
دستگاه مختصات: یک دستگاه مختصات در نظر می‌گیریم که محورهای ۱ (x) و ۲ (y) در صفحه فیلم و موازی با لبه‌های مکعب بلوری هستند و محور ۳ (z) عمود بر سطح فیلم است.

محاسبه کرنش درون‌صفحه‌ای ( $ϵ_{11}$ و $ϵ_{22}$ )

تنش در فیلم ناشی از عدم تطابق شبکه بین Ge و Si است. ثابت شبکه طبیعی Ge بزرگتر از Si است. برای رشد اپیتاکسیال، اتم‌های Ge باید در صفحه فیلم فشرده شوند تا با فاصله کوچکتر اتم‌های Si مطابقت پیدا کنند.

کرنش به صورت تغییر طول تقسیم بر طول اولیه تعریف می‌شود. * طول اولیه (فاصله طبیعی Ge) = $a_{G e}$ * طول نهایی (فاصله اجباری Si) = $a_{S i}$

بنابراین کرنش‌های درون‌صفحه‌ای، $ϵ_{11}$ و $ϵ_{22}$ ، به دلیل تقارن مکعبی مواد برابر هستند.

این یک کرنش درون‌صفحه‌ای تقریباً -۴.۱٪ می‌دهد. علامت منفی به درستی نشان می‌دهد که فیلم Ge تحت فشار در جهات x و y قرار دارد. از آنجا که محورهای بلوری با دستگاه مختصات ما هم‌راستا هستند، تمام کرنش‌های برشی صفر هستند ( $ϵ_{12} = ϵ_{13} = ϵ_{23} = 0$ ).

محاسبه کرنش خارج‌صفحه‌ای ( $ϵ_{33}$ )

فیلم در صفحه x-y فشرده می‌شود، اما آزاد است که در جهت z (عمود بر سطح) منبسط یا منقبض شود. از نظر فیزیکی، از آنجا که سطح بالایی فیلم آزاد است، هیچ نیرویی نمی‌تواند بر آن وارد شود. این بدان معناست که تنش عمود بر سطح باید صفر باشد. $σ_{33} = 0$ اکنون می‌توانیم از قانون هوک تعمیم‌یافته برای یک بلور مکعبی استفاده کنیم تا این تنش را به کرنش‌ها مرتبط کنیم. معادله $σ_{33}$ عبارت است از: $σ_{33} = c_{12} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} + c_{11} ϵ_{33} .$ با استفاده از شرایط $σ_{33} = 0$ و $ϵ_{11} = ϵ_{22}$ ، می‌توانیم کرنش خارج‌صفحه‌ای مجهول $ϵ_{33}$ را حل کنیم. $0 = c_{11} ϵ_{33} + c_{12} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{11} = c_{11} ϵ_{33} + 2 c_{12} ϵ_{11}$

بازچینی برای $ϵ_{33}$ : $ϵ_{33} = - \frac{2 c_{12}}{c_{11}} ϵ_{11}$ اکنون، مقادیر عددی را برای فیلم ژرمانیوم وارد می‌کنیم:

$ϵ_{33} = - \frac{2 \times 48.2 GPa}{128.5 GPa} \times (- 0.0406) \approx + 0.0304$ این یک کرنش خارج‌صفحه‌ای تقریباً +۳.۰٪ می‌دهد. علامت مثبت نشان‌دهنده ازدیاد طول در جهت z است.

محاسبه تنش درون‌صفحه‌ای ( $σ_{11}$ و $σ_{22}$ )

در نهایت، می‌توانیم تنش‌های درون‌صفحه‌ای را با استفاده از قانون هوک و مقادیر کرنشی که یافته‌ایم محاسبه کنیم. به دلیل تقارن ( $ϵ_{11} = ϵ_{22}$ )، تنش‌های درون‌صفحه‌ای نیز برابر خواهند بود ( $σ_{11} = σ_{22}$ ). این حالت به عنوان حالت تنش دو محوره شناخته می‌شود.

معادله $σ_{11}$ عبارت است از: $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} + c_{12} ϵ_{33}$ عبارت $ϵ_{33}$ را در این معادله جایگذاری کنید: $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{11} + c_{12} (- \frac{2 c_{12}}{c_{11}} ϵ_{11})$ اکنون، می‌توانیم $ϵ_{11}$ را فاکتور بگیریم تا عبارت نهایی به دست آید: $σ_{11} = σ_{22} = [c_{11} + c_{12} - \frac{2 c_{12}^{2}}{c_{11}}] ϵ_{11}$

با وارد کردن مقادیر عددی برای Ge: تنش درون‌صفحه‌ای -۵.۷ گیگاپاسکال است. علامت منفی یک تنش فشاری بزرگ را تأیید می‌کند. این تنش فوق‌العاده زیاد است و مقدار قابل توجهی انرژی کرنش را در فیلم ذخیره می‌کند. در عمل، اگر فیلم بیش از یک "ضخامت بحرانی" معین رشد داده شود، این انرژی اغلب از طریق تشکیل عیوبی به نام نابجایی‌های عدم تطابق آزاد می‌شود که بخشی از کرنش را کاهش می‌دهند.

ماده همسانگرد

یک ماده همسانگرد در هر جهت خواص یکسانی دارد. این بالاترین سطح تقارن ماده است. برای اینکه یک ماده همسانگرد باشد، روابط ساختاری آن (و در نتیجه ثابت‌های الاستیک آن) باید پس از هر دوران دلخواه دستگاه مختصات بدون تغییر باقی بمانند.

ما با ماتریس سفتی برای یک ماده مکعبی شروع می‌کنیم که دارای سه ثابت مستقل ( $c_{11}$ , $c_{12}$ و $c_{44}$ ) است. یک ماده همسانگرد یک حالت خاص از ماده مکعبی است، بنابراین می‌توانیم با اعمال ناوردایی دورانی، محدودیت اضافی مورد نیاز برای همسانگردی را بیابیم.

با چرخش محورهای x و y به اندازه ۴۵ درجه حول محور z و الزام به اینکه رابطه تنش-کرنش برشی در دستگاه مختصات چرخیده همان شکل را حفظ کند، درمی‌یابیم که برای یک ماده همسانگرد، ثابت‌های الاستیک باید در رابطه زیر صدق کنند:

c_{44} = \frac{1}{2} (c_{11} - c_{12}) .

بیایید یک دستگاه مختصات جدید (x’، y’، z’) در نظر بگیریم که نسبت به دستگاه اصلی (x، y، z) به اندازه ۴۵ درجه حول محور z چرخیده است. روابط تبدیل برای مؤلفه‌های تنش و کرنش قابل استخراج هستند.

برای اهداف ما، به روابط زیر برای مؤلفه‌های برشی در صفحه x’-y’ نیاز خواهیم داشت: یا به طور معادل

در دستگاه مختصات جدید (پریم‌دار)، رابطه بین تنش برشی و کرنش مهندسی برشی باید همان شکلی را داشته باشد که در دستگاه اصلی دارد. در نمادگذاری وویگت، این رابطه به صورت $σ_{6} = c_{66} ϵ_{6}$ یا $σ_{12} = c_{44} γ_{12}$ است. برای یک ماده همسانگرد، ثابت الاستیک $c_{44}$ باید در هر دو دستگاه مختصات یکسان باشد. بنابراین، در دستگاه پریم‌دار: با جایگذاری (i) و (ii) در معادله بالا، داریم: حال، تنش‌های $σ_{11}$ و $σ_{22}$ را با استفاده از قانون ساختاری برای یک ماده مکعبی در دستگاه مختصات اصلی بیان می‌کنیم: $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} σ_{22} = c_{12} ϵ_{11} + c_{11} ϵ_{22}$ سپس، عبارت $(σ_{22} - σ_{11})$ را محاسبه می‌کنیم: $σ_{22} - σ_{11} = (c_{12} ϵ_{11} + c_{11} ϵ_{22}) - (c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22}) = (c_{12} - c_{11}) ϵ_{11} + (c_{11} - c_{12}) ϵ_{22} = (c_{11} - c_{12}) (ϵ_{22} - ϵ_{11})$ در نهایت، این نتیجه را دوباره در معادله (iii) جایگذاری می‌کنیم: $\frac{1}{2} (c_{11} - c_{12}) (ϵ_{22} - ϵ_{11}) = c_{44} (ϵ_{22} - ϵ_{11})$ از آنجایی که این رابطه باید برای هر حالت کرنش دلخواهی برقرار باشد، عبارت‌های کرنش $(ϵ_{22} - ϵ_{11})$ حذف می‌شوند و قید لازم برای یک ماده همسانگرد باقی می‌ماند: $c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2}$

این بدان معناست که تنها ۲ ثابت مستقل برای یک ماده همسانگرد باقی می‌ماند. این ثابت‌ها معمولاً به عنوان پارامترهای لامه، λ و μ (که μ مدول برشی، G، است) بیان می‌شوند. $\Rightarrow c_{11} = λ + 2 μ$ با جایگذاری اینها در معادلات ساختاری، به عنوان مثال σ₁₁: به طور مشابه، برای تمام مؤلفه‌ها: این روابط را می‌توان به صورت فشرده با استفاده از نمادگذاری تانسوری نوشت: $σ_{i j} = λ (\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{k k}) δ_{i j} + 2 μ ϵ_{i j}$ که در آن δᵢⱼ دلتای کرونکر است: با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین (که در آن جمع بر روی اندیس تکراری تلویحاً منظور می‌شود)، معادله حتی فشرده‌تر می‌شود:

ضریب ناهمسانگردی

در بخش مواد همسانگرد، شرط خاصی را استخراج کردیم که ثابت‌های الاستیک یک ماده مکعبی برای همسانگرد بودن باید در آن صدق کنند: $c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2}$ این رابطه روش مفیدی برای کمّی‌سازی درجه ناهمسانگردی الاستیک در یک بلور مکعبی فراهم می‌کند. می‌توانیم این عبارت را به صورت یک نسبت بازنویسی کنیم. این منجر به نسبت ناهمسانگردی زنر (یا ضریب ناهمسانگردی) می‌شود که با A نشان داده می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌گردد: $A = \frac{2 c_{44}}{c_{11} - c_{12}}$ این ضریب بدون بعد معیاری از میزان ناهمسانگردی یک ماده ارائه می‌دهد:

اگر A = ۱ باشد، شرط همسانگردی کاملاً برآورده می‌شود. خواص الاستیک ماده در تمام جهات یکسان است.
اگر A از ۱ انحراف داشته باشد، ماده ناهمسانگرد است. بزرگی انحراف نشان‌دهنده درجه ناهمسانگردی است. برای بسیاری از فلزات مکعبی، این مقدار می‌تواند به طور قابل توجهی با ۱ متفاوت باشد. به عنوان مثال، مقدار آن برای آهن تقریباً ۲.۴۱ و برای نیوبیوم ۰.۴۹ است.

ثابت‌های الاستیک مواد مختلف

ماده	بلور	c₁₁ (GPa)	c₄₄ (GPa)	c₁₂ (GPa)	E (GPa)	$ν$	μ (GPa)	A
Ag	fcc	124.00	46.10	93.40	43.75	0.43	46.10	3.01
Al	fcc	107.30	28.30	60.90	63.20	0.36	28.30	1.22
Au	fcc	192.90	41.50	163.80	42.46	0.46	41.50	2.85
Cu	fcc	168.40	75.40	121.40	66.69	0.42	75.40	3.21
Ir	fcc	580.00	256.00	242.00	437.51	0.29	256.00	1.51
Ni	fcc	246.50	127.40	147.30	136.31	0.37	127.40	2.57
Pb	fcc	49.50	14.90	42.30	10.52	0.46	14.90	4.14
Pd	fcc	227.10	71.70	176.00	73.41	0.44	71.70	2.81
Pt	fcc	346.70	76.50	250.70	136.29	0.42	76.50	1.59
Cr	bcc	339.80	99.00	58.60	322.56	0.15	99.00	0.70
Fe	bcc	231.40	116.40	134.70	132.28	0.37	116.40	2.41
K	bcc	4.14	2.63	2.21	2.60	0.35	2.63	2.73
Li	bcc	13.50	8.78	11.44	3.00	0.46	8.78	8.52
Mo	bcc	440.80	121.70	172.40	343.86	0.28	121.70	0.91
Na	bcc	6.15	5.92	4.96	1.72	0.45	5.92	9.95
Nb	bcc	240.20	28.20	125.60	153.95	0.34	28.20	0.49
Ta	bcc	260.20	82.60	154.50	145.08	0.37	82.60	1.56
V	bcc	228.00	42.60	118.70	146.72	0.34	42.60	0.78
W	bcc	522.40	160.80	204.40	407.43	0.28	160.80	1.01
C	dc	949.00	521.00	151.00	907.54	0.14	521.00	1.31
Ge	dc	128.40	66.70	48.20	102.09	0.27	66.70	1.66
Si	dc	166.20	79.80	64.40	130.23	0.28	79.80	1.57
GaAs	—	118.80	59.40	53.70	85.37	0.31	59.40	1.82
GaP	—	141.20	70.50	62.50	102.85	0.31	70.50	1.79
InP	—	102.20	46.00	57.60	60.68	0.36	46.00	2.06
KCl	—	39.50	6.30	4.90	38.42	0.11	6.30	0.36
LiF	—	114.00	63.60	47.70	85.86	0.29	63.60	1.92
MgO	—	287.60	151.40	87.40	246.86	0.23	151.40	1.51
NaCl	—	49.60	12.90	12.40	44.64	0.20	12.90	0.69
TiC	—	500.00	175.00	113.00	458.34	0.18	175.00	0.9

مرجع

منابع

نای، جِی. اف. (۱۹۸۵). خواص فیزیکی بلورها: نمایش آنها با تانسورها و ماتریس‌ها. انتشارات دانشگاه آکسفورد.
شیمز، آی. اچ.، و کوزارلی، اف. اِی. (۱۹۹۲). تحلیل تنش الاستیک و غیرالاستیک (ویرایش دوم). پرنتیس هال.
سوکولنیکوف، آی. اس. (۱۹۵۶). نظریه ریاضی الاستیسیته (ویرایش دوم). مک‌گراو-هیل.

این فرض، با این حال، ضروری نیست. در نظریه‌های غیرموضعی الاستیسیته، تنش در یک نقطه می‌تواند نه تنها به کرنش در آن نقطه، بلکه به تغییرات مکانی آن (یعنی گرادیان کرنش) یا، به طور کلی‌تر، به میدان کرنش در نقاط مجاور وابسته باشد. در نظریه الاستیسیته غیرموضعی ارائه شده توسط سی. ارینگن، تنش در یک نقطه از طریق یک رابطه انتگرالی به کرنش در کل جسم مرتبط می‌شود. به طور خاص، تنش به صورت میانگین وزنی کرنش در دامنه بیان می‌شود، جایی که تابع وزن‌دهی تأثیر بیشتری به کرنش‌های نقاط نزدیک می‌دهد و به تدریج سهم نقاط دورتر را کاهش می‌دهد. بنابراین، در الاستیسیته غیرموضعی، پاسخ ماده منعکس‌کننده برهم‌کنش‌های دوربرد است و اثراتی را به تصویر می‌کشد که الاستیسیته کلاسیک (موضعی) نمی‌تواند به دقت توصیف کند، به ویژه در مقیاس‌های طولی کوچک یا در مواد با ریزساختار.↩︎
به طور دقیق‌تر، $C_{i j k l}$ یک تانسور مرتبه چهارم است، به این معنی که مؤلفه‌های آن بین دستگاه‌های مختصات طبق رابطه زیر تبدیل می‌شوند: که در آن کسینوس‌های هادی بین محورهای مختصات جدید و قدیم هستند. در اینجا، و ${\hat{𝐞}}_{i}$ به ترتیب بردارهای یکه در امتداد محورهای مختصات اُم و $i$ اُم در دستگاه‌های مختصات جدید و قدیم را نشان می‌دهند.↩︎
در اینجا فرض کرده‌ایم که مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته هستند.↩︎
بر حسب تانسور سفتی $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{k l} \partial ϵ_{i j}} = \frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{k l} \partial ϵ_{i j}} \Rightarrow C_{i j k l} = C_{k l i j}$ ↩︎

این مثال از یادداشت‌های سخنرانی پروفسور ژیگانگ سو (۲۰۰۸) برای علوم مهندسی ۲۴۰: مکانیک جامدات گرفته شده است.↩︎