Eigenstrains and Residual Stresses

در مکانیک جامدات، ما اغلب با کرنش‌های غیرالاستیک مواجه می‌شویم. نمونه‌هایی از کرنش‌های غیرالاستیک عبارتند از:

انبساط حرارتی: تغییرات برگشت‌پذیر در حجم یا شکل که در اثر افزایش یا کاهش دما رخ می‌دهد.
کرنش‌های پلاستیک: تغییر شکل‌های دائمی و برگشت‌ناپذیری که پس از برداشتن بارهای ایجادکننده تسلیم باقی می‌مانند (اغلب ناشی از حرکت نوعی نقص یک‌بعدی به نام نابجایی‌ها).
کرنش‌های اولیه:
کرنش‌های اولیه نشان‌دهنده وضعیت تغییر شکلی هستند که از قبل در ماده وجود دارد، قبل از اعمال هرگونه بار خارجی جدید یا تحلیل‌های جاری. ما معمولاً کرنش‌های اولیه را در نتیجه تاریخچه ساخت یا پردازش ماده مشاهده می‌کنیم. مهندسان به جای شبیه‌سازی کل تاریخچه نحوه ساخت یک قطعه، تغییر شکل باقی‌مانده را به عنوان یک "کرنش اولیه" مبنا در نظر می‌گیرند.
کرنش‌های عدم تطابق:
کرنش‌های عدم تطابق در مقیاس میکرو رخ می‌دهند، زمانی که یک ذره خارجی یا یک فاز جدید درون ماده میزبان شکل می‌گیرد، اما اندازه هندسی طبیعی آن یا فاصله شبکه‌ای آن کاملاً با شبکه اتمی اطراف مطابقت ندارد. از آنجا که این دو ماده به یکدیگر متصل شده‌اند، مجبور به کشیده شدن یا فشرده شدن برای تطابق با یکدیگر می‌شوند.
- مثال: در آلومینیوم سخت‌شده به‌وسیله رسوب (مانند آلومینیوم به‌کار رفته در هواپیما)، اتم‌های مس به هم می‌چسبند تا "رسوبات" ریزی درون شبکه آلومینیوم تشکیل دهند. فاصله بلوری طبیعی این رسوبات غنی از مس کمی متفاوت از شبکه آلومینیوم اطراف است. اختلاف هندسی خالص بین اندازه طبیعی رسوب و "حفره‌ای" که در شبکه آلومینیوم اشغال می‌کند، کرنش عدم تطابق است. مثال کلاسیک دیگر، آلایش در نیمه‌هادی‌ها است، جایی که جایگزینی یک اتم بزرگتر (مانند فسفر) در شبکه سیلیکون یک کرنش عدم تطابق موضعی ایجاد می‌کند.

توشیو مورا عموماً این کرنش‌های غیرالاستیک را کرنش‌های ویژه (eigenstrains) می‌نامید. جی. دی. اشلبی (1957) در ابتدا آن‌ها را "کرنش‌های بدون تنش" نامید. برخی پژوهشگران نیز آن‌ها را "کرنش‌های ذاتی" می‌نامند. در این متن، از اصطلاحات مورا استفاده می‌کنیم و تانسور کرنش ویژه را با $ϵ_{i j}^{*}$ نشان می‌دهیم.

وقتی کرنش‌های ویژه موضعی درون یک جسم ایجاد می‌شوند، اصل سازگاری پیوسته حکم می‌کند که ماده نمی‌تواند به‌طور فیزیکی پاره شود یا روی هم بیفتد. در نتیجه، ماده اطراف مجبور به کشیده شدن، فشرده شدن یا خم شدن می‌شود تا تغییر شکل را جا دهد و یک اتصال بدون درز را تضمین کند. تنش‌های داخلی لازم برای حفظ این سازگاری اجباری تنش‌های ویژه (eigenstresses) نامیده می‌شوند. از آنجا که هیچ نیروی خارجی اعمال نمی‌شود، این حالت تنش داخلی باید کاملاً در سراسر قطعه متعادل شود و آن را خودمتوازن کند. در عمل مهندسی، این تنش‌های داخلی خودمتوازن که معمولاً از فرایندهای ساخت یا تسلیم پلاستیک ناشی می‌شوند، بیشتر به عنوان تنش‌های پسماند شناخته می‌شوند.

(توجه: پیشوند "eigen" از زبان آلمانی گرفته شده است و به معنای "ذاتی" یا "مربوط به خود" است. مهم است که روشن شود کرنش‌های ویژه و تنش‌های ویژه مطلقاً هیچ ارتباطی با مقادیر ویژه ریاضی تانسورهای کرنش یا تنش ندارند. همانطور که بحث کردیم، آن مقادیر ویژه نشان‌دهنده کرنش‌های اصلی و تنش‌های اصلی هستند، که کرنش‌ها یا تنش‌های نرمال در یک دستگاه مختصات خاصی هستند که مؤلفه‌های برشی صفر می‌شوند. توجه داشته باشید که در مواد ناهمسانگرد، این دو دستگاه مختصات لزوماً هم‌راستا نیستند.)

مثالی از یک کرنش ویژه

فرض کنید دمای یک ناهمگنی (ناحیه Ω) که توسط یک بلوک ماده بزرگ‌تر و بدون قید محصور شده است، به اندازه ΔT افزایش یابد. ناهمگنی "می‌خواهد" منبسط شود. اگر کاملاً آزاد و جدا بود، صرفاً یک کرنش حرارتی بدون تنش را تجربه می‌کرد. برای یک ماده همسانگرد، این کرنش ویژه به صورت زیر نوشته می‌شود:

ϵ_{i j}^{*} = α δ_{i j} Δ T,

که در آن α ضریب انبساط حرارتی و δ_ij دلتای کرونکر است (که اگر i = j باشد برابر 1 و اگر i ≠ j باشد برابر 0 است). این فرض می‌کند که انبساط در همه جهات نرمال یکنواخت است. اگر ماده ناهمسانگرد باشد، انبساط به جهت‌گیری بستگی دارد و αδ_ij با یک تانسور انبساط حرارتی کلی α_ij جایگزین می‌شود.

یک نمودار علمی دوبعدی که یک دامنه ماده را نشان می‌دهد. یک شکل نامنظم بزرگ آبی روشن نمایانگر ماتریس است که با حرف 'D' برچسب‌گذاری شده است. در مرکز آن یک شکل نامنظم زرد کوچکتر قرار دارد که نمایانگر یک درون‌آخال یا ناهمگنی است و با حرف یونانی 'Ω' برچسب‌گذاری شده است. هر دو شکل با خطوط مشکی تمیز در برابر پس‌زمینه سفید ترسیم شده‌اند.

کرنش‌های ویژه ساختگی (روش درون‌آخال معادل)

توجه به این نکته مهم است که کرنش‌های ویژه همیشه تغییر شکل‌های فیزیکی واقعی نیستند؛ بلکه می‌توانند به عنوان یک ابزار ریاضی بسیار مؤثر نیز به کار روند. در میکرومکانیک، مهندسان اغلب ناهمگنی‌ها را تحلیل می‌کنند، نواحی‌ای درون ماده که سختی الاستیک متفاوتی نسبت به ماتریس اطراف دارند. محاسبه میدان تنش در اطراف این مواد ناسازگار تحت یک بار خارجی اعمال‌شده از نظر ریاضی دست‌وپاگیر است. با این حال، جی. دی. اشلبی (1957) یک راه‌حل هوشمندانه نشان داد: ما می‌توانیم ذره "خارجی" را به‌طور ریاضی با ماده میزبان اصلی جایگزین کنیم، به شرطی که یک کرنش ویژه ساختگی (اغلب کرنش ویژه معادل نامیده می‌شود) را به صورت نظری محض به آن ناحیه وارد کنیم. این کرنش ویژه ساختگی دقیقاً به گونه‌ای محاسبه می‌شود که میدان‌های تنش و کرنش حاصل کاملاً با واقعیت ذره سخت مطابقت داشته باشد. این جهش مفهومی که به نام درون‌آخال معادل^[۱] روش شناخته می‌شود، سنگ بنای مکانیک کامپوزیت است زیرا به پژوهشگران امکان می‌دهد مسائل پیچیده چندماده‌ای را با استفاده از معادلات بسیار ساده‌تر یک ماده یکنواخت و همگن حل کنند.

یک تصویر فنی که روش درون‌آخال معادل اشلبی را نشان می‌دهد. دو شکل کنار هم با یک نماد هم‌ارزی ریاضی (≣) از هم جدا شده‌اند. هر شکل یک بیضی‌گون سه‌بعدی آبی با محورهای داخلی را نشان می‌دهد که در یک زمینه آبی روشن جای گرفته است. کل سیستم با پیکان‌های سیاهی احاطه شده است که نمایانگر یک میدان تنش دور است و با σij برچسب‌گذاری شده است. بیضی‌گون سمت چپ با تانسور سختی C ijkl از Ω (نمایانگر یک ناهمگنی) برچسب‌گذاری شده است، در حالی که بیضی‌گون سمت راست با کرنش ویژه (نمایانگر درون‌آخال معادل) برچسب‌گذاری شده است.

تجزیه کرنش

هنگام کار با تغییر شکل‌های بی‌نهایت کوچک، کرنش کل 𝜖_ij می‌تواند به صورت تجمعی به کرنش الاستیک $ϵ_{i j}^{p l}$ و کرنش ویژه $ϵ_{i j}^{*}$ تجزیه شود:

ϵ_{i j} = ϵ_{i j}^{e l} + ϵ_{i j}^{*} .

تمایز بین این سه کرنش حیاتی است:

کرنش کل (𝜖_ij): این تغییر شکل هندسی واقعی و فیزیکی ماده است. از آنجا که ماده باید پیوسته باقی بماند (بدون پارگی یا هم‌پوشانی)، کرنش کل باید سازگار باشد. این بدان معناست که مستقیماً از یک میدان جابجایی پیوسته u_i مشتق می‌شود:
$ϵ_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial u_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})$
کرنش ویژه (𝜖*_ij): تغییر شکل ذاتی و بدون تنشی که ماده مایل است تجربه کند.
کرنش الاستیک (𝜖_ij^el): کرنش ناشی از نیروهای اعمال‌شده یا تنش‌های داخلی.

قانون هوک با کرنش‌های ویژه

در یک ماده الاستیک خطی، تانسور تنش تابعی خطی از کرنش الاستیک است. بنابراین، داریم

σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} ϵ_{i j}^{e l},

که در آن C_ijkl تانسور سختی مرتبه چهارم است.

با جایگذاری تجزیه کرنش در این معادله، رابطه بین تنش، کرنش کل و کرنش ویژه به دست می‌آید:

σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} (ϵ_{i j} - ϵ_{i j}^{*}) .

با استفاده از نمادگذاری شاخص‌ها که در آن جمع‌زنی بر روی شاخص‌های تکراری k و l تلویحاً منظور می‌شود، معادلات فوق در مکانیک جامدات به صورت زیر نوشته می‌شوند:

σ_{i j} = C_{i j k l} ϵ_{i j}^{e l} = C_{i j k l} (ϵ_{i j} - ϵ_{i j}^{*}) .

منابع

اشلبی، جی. دی. (۱۹۵۷). تعیین میدان الاستیک یک درون‌آخال بیضی‌گون و مسائل مرتبط. مجموعه مقالات انجمن سلطنتی لندن. سری A. علوم ریاضی و فیزیکی، ۲۴۱(۱۲۲۶)، ۳۷۶–۳۹۶. https://doi.org/10.1098/rspa.1957.0133
کورسانسکی، اِی. اِم. (۲۰۱۷). رساله‌ای آموزشی در مورد تنش‌های پسماند و کرنش‌های ویژه. باترورث-هاینمن.
مورا، تی. (۱۹۸۷). میکرومکانیک عیوب در جامدات (چاپ دوم تجدید نظر شده). اسپرینگر.