معادلات سازگاری

سازگاری مؤلفه‌های کرنش

پیش‌تر ثابت کردیم که تانسور تنش نمی‌تواند خودسرانه در یک ناحیه تغییر کند. در واقع، تغییرات آن توسط قوانین دوم نیوتن محدود شده است. حال سؤال این است: آیا مؤلفه‌های کرنش می‌توانند خودسرانه تغییر کنند؟ پاسخ منفی است. محدودیت‌هایی برای نحوه تغییر کرنش در داخل یک جسم وجود دارد. این محدودیت‌ها که معادلات سازگاری نامیده می‌شوند.

برای تغییرشکل‌های کوچک، مؤلفه‌های کرنش به میدان جابجایی $𝐮$ با رابطه $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}).$$ مرتبط می‌شوند. هنگامی که میدان جابجایی $𝐮$ معلوم باشد، مؤلفه‌های کرنش را می‌توان به آسانی از معادله فوق محاسبه کرد. با این حال، مسئله معکوس تعیین میدان جابجایی متناظر با یک میدان کرنش داده‌شده بسیار پیچیده‌تر است.

شش مؤلفه مستقل کرنش $({ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$ , ${ϵ}_{yz}$, ${ϵ}_{xz}$, ${ϵ}_{xy}$) و تنها سه مؤلفه جابجایی وجود دارد. این بدان معناست که شش معادله برای سه تابع مجهول $u_x,u_y,u_z$ داریم. بنابراین، انتظار نداریم که دستگاه معادلات دارای جواب‌های یکتا باشد اگر توابع ${ϵ}_{ij}$ خودسرانه انتخاب شوند.

معادلات سازگاری

برای حصول اطمینان از آن که مجموعه‌ای از مؤلفه‌های کرنش با یک میدان جابجایی فیزیکی ممکن متناظر باشد، باید شرایط سازگاری خاصی برآورده شوند. این شرایط با حذف مؤلفه‌های جابجایی $u,v,w$ از روابط کرنش-جابجایی به دست می‌آیند.

از تعاریف مؤلفه‌های کرنش، داریم: $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},{ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},2{ϵ}_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$ با مشتق‌گیری‌های مرتبه دوم مناسب، می‌یابیم: $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y^2},\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y\partial x^2},2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^2\partial y}+\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y^2\partial x}.$$

با ترکیب این روابط و با در نظر گرفتن این که مشتقات جزئی مختلط برابرند، به دست می‌آوریم: $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}.}$$

این یکی از معادلات سازگاری است که مؤلفه‌های کرنش باید برای وجود یک میدان جابجایی پیوسته و یکتا برآورده سازند.

روابط اضافی

با جایگشت چرخه‌ای مختصات $x,y,z$، دو رابطه اضافی از همان نوع قابل استخراج هستند.

مشتق‌گیری از روابط کرنش-جابجایی سه‌بعدی عباراتی مانند: $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial z}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y\partial x},$$ و روابط مشابهی برای مؤلفه‌های دیگر می‌دهد.

با ترکیب اینها و حذف $u,v,w$، به دست می‌آوریم: $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{xz}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}).}$$

با جایگشت چرخه‌ای $x,y,z$، سه رابطه دیگر از این نوع به دست می‌آوریم که مجموعاً شش معادله سازگاری در سه بعد را می‌دهد.

$$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yz}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial y^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zx}}{\partial z\partial x}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial z^2}.$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}(-\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}),$$

برای یک ناحیه همبند ساده¹ (یعنی یک جسم مادی بدون حفره یا ناپیوستگی)، معادلات سازگاری هم لازم و هم کافی هستند تا تضمین کنند که میدان جابجایی وجود داشته و یکتا باشد.

اگر ناحیه چندهمبند باشد (مثلاً شامل حفره‌ها یا فضای خالی)، باید شرایط اضافی برای تضمین سازگاری در سراسر جسم اعمال شود (به مرجع زیر مراجعه کنید).

توجه به این نکته حائز اهمیت است که این معادلات هنگامی که مؤلفه‌های جابجایی $u,v,w$ به عنوان مجهولات اصلی در نظر گرفته می‌شوند مورد نیاز نیستند — زیرا آنها به طور خودکار روابط کرنش-جابجایی را برآورده می‌سازند. با این حال، هنگام کار مستقیم با مؤلفه‌های کرنش به عنوان مجهولات، معادلات سازگاری باید اعمال شوند تا تضمین شود که میدان کرنش حاصل با یک تغییرشکل معتبر متناظر است.

از آنجا که مؤلفه‌های کرنش موقعیت‌های نسبی نقاط درون یک جسم را توصیف می‌کنند و حرکت صلب هیچ کرنشی تولید نمی‌کند، مؤلفه‌های جابجایی را فقط تا یک حرکت صلب دلخواه می‌توان تعیین کرد. به عبارت دیگر، حتی اگر مؤلفه‌های کرنش معادلات سازگاری را برآورده سازند، میدان جابجایی به طور یکتا تعیین نمی‌شود.

مرجع

فانگ، وای. سی. (۱۹۶۵). مبانی مکانیک پیوسته. پرنتیس-هال.