جابه‌جایی و کرنش

جابجایی

وقتی نیروها به یک جسم وارد می‌شوند، جسم تا حدی تغییر شکل می‌دهد. این تغییر شکل را می‌توان بر اساس حرکت ذرات ماده توصیف کرد، مفهومی که به نام جابجایی شناخته می‌شود.

در مکانیک کلاسیک، یک ذره به عنوان جرم نقطه‌ای در نظر گرفته می‌شود که می‌تواند در امتداد محورهای x، y و z حرکت کند، بدون اینکه درجات آزادی چرخشی داشته باشد.

اگر موقعیت یک ذره در پیکربندی اولیه¹ با X و در پیکربندی کنونی با x نشان داده شود، بردار جابجایی به صورت زیر تعریف می‌شود
$𝐮 = 𝐱 - 𝐗 .$ این میدان برداری دارای سه مؤلفه در امتداد محورهای x₁، x₂ و x₃ (یا x، y و z) است که با u₁، u₂ و u₃ (یا u، v و w) نشان داده می‌شوند.

به طور کلی، میدان جابجایی یکنواخت نیست؛ نقاط مختلف جسم ممکن است جابجایی‌های متفاوتی را تجربه کنند. بنابراین، به طور کلی، تابعی از موقعیت و زمان t است. دو روش رایج برای بیان این وابستگی وجود دارد:

به عنوان تابعی از موقعیت اولیه (مرجع). در این حالت، اغلب جابجایی را با حرف بزرگ U نشان می‌دهیم:
$𝐔 = 𝐔 (𝐗, t)$
به عنوان تابعی از موقعیت کنونی (تغییرشکل‌یافته):
$𝐮 = 𝐮 (𝐱, t)$

در فلزات با تغییرشکل‌های کشسان کوچک، هنگام ارزیابی توابع مختصات، اغلب می‌توان تفاوت بین سیستم‌های مختصات X و x را نادیده گرفت.

در این فصل، بر نظریه کرنش کوچک تمرکز می‌کنیم که در آن هم جابجایی و هم گرادیان آن کوچک فرض می‌شوند. برای رفتار کشسان معمولی در فلزات — جایی که کرنش کمتر از ۰.۲٪ است — این فرض به خوبی مناسب است.

چرخش و کرنش

جابجایی می‌تواند بدون تغییرشکل رخ دهد. برای مثال، یک جسم ممکن است تحت انتقال جسم صلب یا چرخش جسم صلب قرار گیرد که در طی آن موقعیت‌های نسبی ذرات بدون تغییر باقی می‌مانند. به عنوان مثال، تیر نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. قطعات آویزان چرخش خالص را تجربه می‌کنند بدون آنکه تحت نیروها یا لنگرهای داخلی قرار گیرند. این قطعات جابجایی نشان می‌دهند، اما تغییرشکل نمی‌دهند. در چنین مواردی، اگرچه جابجایی وجود دارد، هیچ تغییرشکل داخلی و در نتیجه هیچ نیروی داخلی (یا تنش) وجود ندارد.

هنگام اعمال نیرو، دو قطعه آویزان چرخش خالص می‌کنند

آنچه باعث ایجاد تنش‌های داخلی می‌شود، جابجایی‌های نسبی بین ذرات مجاور است. جابجایی نسبی بین دو نقطه با فاصله اولیه آنها افزایش می‌یابد. بنابراین، برای توصیف تغییرشکل، باید حرکت نسبی دو نقطه را بر فاصله اولیه آنها بهنجار کنیم.

برای مثال، دو نقطه A و B را در نظر بگیرید که خط اتصال آنها با محور x موازی است و فاصله Δx بین آنها وجود دارد. فرض کنید نقطه A جابجایی $(u, v)$ و نقطه B جابجایی $(u + Δ u, v + Δ v)$ را تجربه کند.

مؤلفه‌های جابجایی نسبی بر واحد فاصله اولیه بین دو نقطه عبارتند از:

با میل کردن $Δ x \to 0$ ، این عبارات به مشتقات جزئی زیر نزدیک می‌شوند:
$\frac{\partial u}{\partial x} و \frac{\partial v}{\partial x} .$ این نشان می‌دهد که برای توصیف تغییرشکل، باید مشتقات مکانی (یا گرادیان) مؤلفه‌های جابجایی را ارزیابی کنیم.

تانسور گرادیان جابجایی به صورت زیر داده می‌شود:
$[\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{matrix}]$

گرادیان جابجایی به تنهایی برای توصیف تغییرشکل کافی نیست، زیرا حرکت نسبی بین نقاط یک جسم می‌تواند ناشی از چرخش جسم صلب نیز باشد که تنش تولید نمی‌کند. اگرچه چرخش ممکن است در برخی مسائل مهم باشد، اما وقتی هدف ما تمرکز بر تغییرشکل ناشی از تنش است، باید اثرات چرخش را کم کنیم.

برای حذف چرخش‌ها، یک المان را در نظر می‌گیریم که اضلاع آن با محورهای x و y موازی هستند (شکل زیر را ببینید). برای چرخش‌های کوچک، چرخش خطی که در ابتدا با محور x موازی است برابر است با
$ω_{1} \approx \tan ω_{1} \approx \frac{Δ v}{Δ x},$ و چرخش خطی که در ابتدا با محور y موازی است برابر است با
$ω_{2} \approx \tan ω_{2} \approx - \frac{Δ u}{Δ y} .$

چرخش متوسط المان در صفحه xy به صورت زیر تعریف می‌شود
$ω_{y x} = \frac{1}{2} (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}) .$

به طور کلی، چرخش توسط $[\begin{matrix} 0 & ω_{x y} & ω_{x z} \\ ω_{y x} & 0 & ω_{y z} \\ ω_{z x} & ω_{z y} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}) & \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}) \\ \frac{1}{2} (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x}) & 0 & \frac{1}{2} (\frac{\partial v}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial y}) \\ \frac{1}{2} (\frac{\partial w}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial z}) & \frac{1}{2} (\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}) & 0 \end{matrix}]$ $ω_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} - \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})$ توصیف می‌شود. توجه کنید که این یک ماتریس پادمتقارن است.

با کم کردن چرخش از گرادیان جابجایی، کرنش به دست می‌آید که تغییرات محلی شکل جسم را توصیف می‌کند

بنابراین، مؤلفه‌های کرنش توسط داده می‌شوند. مؤلفه‌های روی قطر اصلی کرنش‌های نرمال و بقیه مؤلفه‌ها کرنش برشی نامیده می‌شوند.

توجه کنید که ماتریس مربوط به کرنش متقارن است.
توجه کنید که $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = ϵ_{i j} + ω_{i j} .$
در کاربردهای مهندسی، معمول است که برای مؤلفه‌های کرنش نرمال از نمادگذاری ساده‌ شده استفاده شود: وقتی هر دو اندیس یکسان باشند، فقط یک زیرنویس به کار می‌رود. برای مثال، ϵ_xx اغلب به صورت ϵ_x و ϵ_yy به صورت ϵ_y نوشته می‌شود. $ϵ_{x} = \frac{\partial u}{\partial x}, ϵ_{y} = \frac{\partial v}{\partial y}, ϵ_{z} = \frac{\partial w}{\partial z} .$
در بسیاری از مسائل مهندسی، اغلب از دو برابر کرنش برشی ϵ_ij استفاده کرده و آن را با Ɣ_ij نشان می‌دهیم:

تفسیر هندسی

یک المان دوبعدی را در نظر بگیرید که تغییر شکل داده است. برای سادگی، گوشه المان در حالت تغییرشکل‌یافته را به گوشه المان قبل از تغییرشکل منتقل می‌کنیم. کرنش‌های نرمال تغییر طول بر واحد طول اولیه هستند، در حالی که کرنش برشی نصف کاهش زاویه نشان داده شده در زیر است.

علامت مؤلفه‌های کرنش

کرنش نرمال هنگامی مثبت در نظر گرفته می‌شود که طول در جهت مربوطه افزایش یابد. برای مثال، ϵ_xx وقتی مثبت است که المان در امتداد محور x کشیده شود.

کرنش برشی ϵ_xy هنگامی مثبت در نظر گرفته می‌شود که زاویه بین محورهای +x و +y (یا بین –x و –y) کاهش یابد و زاویه بین +x و –y (یا بین –x و +y) افزایش یابد (شکل زیر را ببینید). به عبارت دیگر، تغییر زاویه‌های ایجاد شده توسط یک تنش برشی مثبت به عنوان کرنش برشی مثبت تعریف می‌شود و بالعکس.

چپ: المان کرنش برشی مثبت را تجربه می‌کند. راست: المان کرنش برشی منفی را تجربه می‌کند

واحدهای کرنش

توجه کنید که کرنش بدون بعد است، بنابراین هیچ واحدی ندارد.

مراجع

مالورن، ال. ای. (۱۹۶۹). مقدمه‌ای بر مکانیک محیط‌های پیوسته. پرنتیس-هال.
مک‌کلینتاک، اف. ای.، و آرگون، ای. اس. (۱۹۶۶). رفتار مکانیکی مواد. ادیسون-وزلی.

پیکربندی عبارت است از آرایش فضایی همه ذرات یک جسم در یک لحظه معین.↩︎